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4. Berührt eine Kugel zwei andere um M und m gleichartig, so sinddie Berührungspunkte p otenz haltend vom äusseren Aehnlichkeitspunkte.

Die Kugel um x berührt die Kugel um M in B von aussen, eben so die Ku-gel um in in b 1 von aussen, man soll beweisen, dass Bb 1 durch den äusseren

Aehnlichkeitspunkt A geht. Da die Kugeln um M und x sich in B berühren, soist MBx eine gerade Linie; desgleichen ist mb*x eine gerade Linie, folglich bildetMmx eine Ebene, worin B und b 1 liegen. Diese Ebene Mmx schneidet die Ku-geln um M, m und x so, dass man drei grösste Kugelkreise erhält, von denen derKreis um x die beiden Kreise um M und m gleichartig berührt, und zwar denKreis um M in B, den Kreis um m in b 1 , Bb 1 geht also durch den äusseren Aehn-lichkeitspunkt A, welches zugleich der äussere Aehnlichkeitspunkt für die Kugelist. B und b 1 sind also potenzhaltende Punkte des äusseren AehnlichkeitspunktesA der beiden gegebenen Kugeln um M und m.

Eben so berührt die Kugel um X die beiden gegebenen Kugeln um M und

m von innen in B 1 und b, folglich sind B 1 und b potenzhaltende Punkte des

äusseren Aehnlichkeitspunktes A.

Eben so leicht lässt sich nachweisen, dass wenn eine Kugel um x eine andereum M von aussen berührt in B und mit der Kugel um m einen potenzhaltendenPunkt b 1 vom äusseren Aehnlichkeitspunkte A gemein hat, diese Kugel um xauch die andere Kugel um m von aussen berühren muss. Nach der Voraus-setzung liegen die Punkte B, b 1 und A in gerader Linie, man kann also durchdie Centrale AmM und Ab'B eine Ebene legen, so wird diese Ebene, da x inder Verlängerung von MB liegen muss, alle, drei gegebenen Kugeln in grösstenKreisen um M, m und x durchschneiden. Man verbinde nun x mit b 1 und b 1 mitm, so lässt sich leicht nachweisen aus der Gleichheit der Winkel an der Grund-linie in den drei gleichschenkligen Dreiecken MBB 1 , mbb 1 und xBb 1 , dass mb'xeine gerade Linie ist, d. h. dass die Kugel um x auch die Kugel um m von aussenberührt.

Berührt eine Kugel um X eine Kugel um M von innen in B 1 , hat ferner dieKugel um X einen Punkt b mit einer Kugel um m gemein, und sind B 1 und bpotenzhaltende Punkte vom äusseren Aehnlichkeitspunkte, so muss die Kugel umX auch die Kugel um in von innen berühren.