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Sätzen Nr. 4 und 5 zu dieser Aufgabe, dass die Kugel, welche durch et, ß und ygeht und die Kugel um m in [i von aussen berührt, auch diejenige um M vonaussen berühren muss.

Bei Benutzung des inneren Aehnlichkeitspunktes erhalten wir zwei Kugeln,von denen die eine die Kugel um M von aussen, die um m von innen berührt;die andere dagegen die Kugel um M von innen, die um m von aussen berührt;in beiden Fällen sollen aber a und ß auf der Oberfläche der beschriebenen Ku-gel liegen.

Vier Auflösungen.

Wie müssen die Bedingungen gestellt werden, wenn der Punkt « angenom-men wird auf der Oberfläche der einen Kugel?

Was ist über die Aufgabe zu sagen, wenn der Punkt ß in die Linie A« fällt?

Angabe der Bedingungen, unter welchen die Auflösung unmöglich ist.

Aufgabe 7.

Es sind drei Ebenen ©1, @2 und ©3 gegeben, ausserdem ein Punkt «; mansoll eine Kugel so beschreiben, dass dieselbe die drei gegebenen Ebenen berührt,und der Punkt « auf ihrer Oberfläche zu liegen kommt.

Auflösung: Man halbire den Winkel von zwei Ebenen 61 und @2 durchdie Ebene Ei, so dass also Winkel (ffii, Ei) = Winkel (@2, Ei) wird; man fälledarauf von a auf Ei ein Loth cte und verlängere dasselbe über e bis ß , so dassße := «t. Jede Kugel, deren Mittelpunkt in Ei liegt und auf deren Oberflächesich a befindet, muss nun auch durch ß gehen. Da aber Ei der geometrischeOrt für alle Kugeln ist, welche die Ebenen @1 und ©2 berühren, so muss die ge-suchte Kugel so beschaffen sein, dass sich u und ß auf ihrer Oberfläche befinden.Wir haben jetzt nur noch die Aufgabe zu lösen, eine Kugel zu beschreiben,welche zwei Ebenen ©3 und ©1 oder ©2 berührt, ausserdem durch die Punkte etund ß geht. Die Aufgabe 7 ist damit zurückgeführt worden auf die Aufgabe 4und lässt daher zwei Auflösungen zu.

Wenn die Ebene Ei, welche den Winkel der Ebenen ®i und ©2 halbirt, dergeometrische Ort für alle Punkte ist, welche von ffii und @2 gleichweit abstehen;wenn ferner die Ebene Es, welche den Winkel der Ebenen ®i und ©3 halbirt,der geometrische Ort für alle Punkte ist, welche von @1 und ©3 gleichweit ab-stehen: so ist der Durchschnitt der Ebenen Ei und Ei, welche gerade Linie wirmit e bezeichnen wollen, der geometrische Ort aller Punkte, welche gleichweitvon den Ebenen @1, ©2 und ©3 abstehen; es muss folglich e auch in der EbeneE3 liegen, welche den Winkel der beiden Ebenen @2 und ©3 halbirt. Darausfolgt, dass die Linie e zugleich in den drei Ebenen Ei, E2 und E3 liegt. DieseLinie ist der geometrische Ort für die Mittelpunkte der Kugeln, welche zugleichdie drei gegebenen Ebenen berühren.

Man könnte, wenn die gesuchte Kugel durch den Punkt a gehen sollte,noch leicht mit Hülfe der obigen Linie e einen zweiten Punkt ß finden, derebenfalls auf ihrer Oberfläche liegen müsste. Man braucht dazu nur von « auf eein Loth cte zu fällen und dasselbe über e hinaus zu verlängern bis ß, so dasss« = eß wird.

Aus den obigen Betrachtungen ergiebt sich ein stereometrischer Satz:

„Hat man drei beliebige Ebenen @1, @2 und ©3, und halbirt den Winkel, den