65

je zwei von ihnen bilden, durch die resp. Ebenen Ei, E3 und £3, so schneidensich diese letzteren drei Ebenen in einer und derselben geraden Linie e.”

Dieser Satz ist analog mit demjenigen aus der Dreiecksichre, dass sich diedrei geraden Linien, welche die Winkel eines Dreiecks halbiren, in demselbenPunkte schneiden.

Aufgabe 8.

Es sind ein Punkt gegeben, zwei Ebenen, und eine Kugel: man soll eine Ku-gel construiren, welche die beiden Ebenen und die gegebene Kugel berührt, sodass der gegebene Punkt auf der Oberfläche der gesuchten Kugel zu liegenkommt.

Der Punkt heisse «, die beiden Ebenen ffii und ©2, die gegebene Kugel seium M beschrieben.

Man halbire den Winkel der Ebenen ©1 und ©2 durch die Ebene E , so istdieselbe der geometrische Ort für alle Mittelpunkte der Kugeln, welche die bei-den gegebenen Ebenen berühren. Ich fälle darauf von a ein Loth as auf E, undverlängere dasselbe nach der entgegengesetzten Seite, so dass ea = iy wird.Jede Kugel, deren Mittelpunkt in E liegt und durch den Punkt a geht, muss nunauch durch den Punkt y gehen. Ich habe nun die Aufgabe zu lösen: Eine Ku-gel zu beschreiben, welche durch zwei gegebene Punkte ce und y geht und einegegebene Ebene @1 oder @2 und die Kugel um M berührt (Nr. 5 ). Giebt vierAuflösungen.

Oder: Man suche sich den äusseren oder inneren Aehnlichkeitspunkt derEbene ©t oder @2 (wir wollen @1 wählen) und der Kugel um M. (Vergl. diefünfte Figur.) Je nachdem man den äusseren oder inneren Aehnlichkeitspunktnimmt, erhält man verschiedene Auflösungen. Wir wollen den äusseren Awählen. Um A zu finden, muss man von M auf ffii ein Loth AC fällen und das-selbe rückwärts verlängern, man erhält darauf als constantes Product der po-tenzhaltenden Punkte für Kugel und Ebene AI . AC. Nennen wir die Berüh-rungspunkte der gesuchten Kugel, welche die Ebene ®i und die Kugel (letzterevon aussen) berührt, s und fi, so ist As . A ft — AC . AI. Der Punkt a sollaber auf der Oberfläche der gesuchten Kugel liegen, ziehe ich daher A«, so mussdieselbe die Oberfläche der gesuchten Kugel noch in einem anderen Punkte schnei-den, welchen wir y nennen wollen, so dass A« . A y = As . A fi — AC . AIwird. Da wir A«, AC und AI kennen, so ist es leicht möglich Ay. zü construi-ren, d. h. y zu finden. Wir haben jetzt die Aufgabe: Eine Kugel zu construi-ren, welche durch zwei Punkte a und y geht und eine gegebene Ebene ©2 be-rührt, ausserdem noch die Ebene ffii oder die Kugel um M berührt. (Entwedernach Aufgabe 4 oder 5 .) Vier Auflösungen.

9