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Auf ganz analoge Weise kann man sieh die übrigen Auflösungen in Summa 16Verschaffen.

1) lliilfsebene E nach innen, Hülfskugeln R -f- p uinl r -j- /'■ Verlängerung

des Radius um p: zwei Kugeln, welche die Kugeln R und r von aussen berüh-ren und die Kugel p von innen. ___

2) lliilfsebene E nach innen, Hülfskugeln R -f- p und r —p, Verlängerung

des Radius um p: zwei Kugeln, welche die Kugel R von aussen und die Kugel

r von innen, so wie die Kugel p von innen berühren. _

3) Hülfsebene E nach innen, Hülfskugeln R— p und r -j- p, Verlängerung

des Radius um p: zwei Kugeln, welche die Kugel R von innen und die Kugel

r von ausseri, so wie die Kugel p von innen berühren.

4) Hülfsebene E nach innen; Hülfskugeln R— p und r ■— p, Verlängerung

des Radius um q: zwei Kugeln, welche die Kugeln R und r von innen berüh-ren und die Kugel q von innen. _

5) Hülfsebene E 1 nach aussen, Hülfskugeln R -f- q und r -j- p, Verkürzungdes Radius um q: zwei Kugeln, welche die Kugeln R und r von innen berüh-ren und die Kugel q von aussen.

6) Hülfsebene E l nach aussen, Hülfskugeln R + q und r — q, Verkürzungdes Radius um q: zwei Kugeln, welche die Kugel R von innen und d : e Kugel rvon aussen, so wie die Kugel q von aussen berühren.

7) lliilfsebene E 1 nach aussen, Hülfskugeln R— q und r -|- p, Verkürzungdes Radius um q: zwei Kugeln, welche die Kugel R von aussen und die Kugelr von innen, so wie die Kugel q von aussen berühren.

8) Hülfsebene E 1 nach aussen, Hülfskugeln R — q und r — q , Verkürzungdes Radius um q: zwei Kugeln, welche die Kugeln R und r von aussen berüh-ren und die Kugel q von aussen.

Aufgabe 15.

Eine Kugel zu beschreiben, welche vier gegebene Kugeln berührt.

Die Radien dieser Kugeln seien R, r, P, p; q sei am kleinsten, der Mittel-punkt der dazu gehörigen Kugel sei f.

Man löse die Aufgabe: Eine Kugel zu beschreiben, welche durch den Punkt fgeht und die drei Kugeln R -{- p, r -|- p, H+p berührt, welche concentrischsind resp. mit den Kugeln R, r, P. Von allen hier nach Aufgabe 10 möglichenacht Auflösungen, können wir aber nur zwei gebrauchen; nämlich, wenn wir denRadius der so gefundenen Kugel um q verlängern wollen, nur diejenige Kugel,welche die Kugeln R -j- q, r -[- q, P -j- q von aussen berührt; wenn wir da-gegen den Radius der so gefundenen Kugel um q verkürzen wollen, nur diejenigeKugel, welche die drei Hülfskugeln von innen berührt. Im ersten Falle erhieltenwir eine Kugel, welche die drei Kugeln R, r und P von aussen berührt, dage-gen die Kugel q von innen; im anderen Falle eine Kugel, welche die drei Ku-geln R, r und P von innen berührt, die Kugel um q dagegen von aussen.

Aufzählung der 16 möglichen Fälle.

1) R + q, r + q, P -f- p; Verlängerung; R, r, P aussen; q innen.

2) R -j- q, r -j- (?) P + pj Verkürzung; R, r, P innen; q aussen.

3) R -j- q, r -J- q, P — p; Verlängerung; R, r aussen, P innen; p innen.

4) R + p, r -j- Pi P — p; Verkürzung; R, r innen, P aussen; p aussen.

5) R -j- p, r — p, P -f- p; Verlängerung; R aussen, r innen, P aussen;p innen.

6) R -j- p, r — p, P -f- p; Verkürzung; R innen, r aussen, P innen; p aussen.