Punkt f nach innen und einmal nach aussen. Wir wollen zuerst den Fall anneh-men, dass die Hülfsekenen Ei und Ez nach innen liegen. Alsdann kann mannach Aufgabe 8 zwei Kugeln construiren, welche die Ebenen Ei und Ez berüh-ren, durch den Punkt E gehen und die Hiilfskugel (R -j- i) von aussen berüh-ren. Verlängert man nun den Radius der beiden so gefundenen Kugeln um r, soerhält man zwei Kugeln, welche die ursprünglichen Ebenen @i und fe berühren,eben so die Kugel r von innen und die Kugel R von aussen berühren. Man hätteauch dieselbe Hülfskugel (R -j- r) beibehalten können, die Ebenen E*i und E *2parallel mit den ursprünglichen, aber in Rücksicht auf den Punkt F nach aussenlegen können, so hätte man zwei Kugeln nach Aufgabe 8 beschreiben können,welche die Ebenen E*i und Eh berühren, durch den Punkt F gehen und dieHülfskugel (R + r) von innen berühren. Man kann nun den Radius der beidenso gefundenen Kugeln um r verkürzen, so erhält man zwei Kugeln, welche diebeiden gegebenen Ebenen berühren, ferner die Kugel r von aussen und die Ku-gel R von innen berühren.

Die Hülfskugel R — r, concentrisch mit der Kugel R, würde mit Hülfe derEbenen Et und Ei durch Verlängerung des Radius der gefundenen Kugeln zweiKugeln gegeben haben, die Kugel r von innen und eben so R von innen berührthätten; desgleichen in Verbindung mit den Ebenen Eh und Eh durch Verkür-zung des Radius der gefundenen Kugeln um r zwei Kugeln gegeben haben, dieKugel r von aussen und Kugel R ebenso von aussen berührt hätten.

1) Hiilfsebenen Ei und Ez nach innen, Hülfskugel (R -}- r), durch Verlänge-rung des Radius um r: zwei Kugeln, welche Kugel r von innen und Kugel Rvon aussen berühren.

2) Hiilfsebenen E*i und Eh nach aussen, Hülfskugel (R -(- r), durch Ver-kürzung des Radius um r: zwei Kugeln, welche Kugel r von aussen und KugelR von innen berühren.

3) Hülfsebenen Ei und Ei nach innen, Hülfskugel (R — r), durch Verlän-gerung des Radius um r: zwei Kugeln, welche die beiden gegebenen Kugelngleichartig von innen berühren.

4) Hülfsebenen E l i und Eh nach aussen, Hülfskugel (R — r), durch Ver-kürzung des Radius um r: zwei Kugeln, welche die beiden gegebenen Kugelngleichartig von aussen berühren.

Aufgabe 14.

Eine Kugel zu beschreiben, welche drei gegebene Kugeln und eine gegebeneEbene berührt.

Die Radien der drei gegebenen Kugeln seien R, r und p, davon sei p derkleinste, sein Mittelpunkt F, die gegebene Ebene heisse @.

Man zeichne eine Hiilfsebene E, welche parallel mit läuft, in dem Ab-stande p und zwar in Rücksicht auf den Punkt F nach innen liegt; darauf be-schreibe man mit der Kugel R eine concentrische Hülfskugel mit dem RadiusR -(- p, desgleichen mit der Kugel r eine concentrische Hülfskugel mit dem Ra-dius r -j-p: alsdann kann man nach Aufgabe 9 zwei Kugeln beschreiben, welchedie Ebene E berühren, eben so die Kugeln R -j- p und r -j- p von aussen unddurch den Punkt F gehen. Verlängert man in diesen beiden Kugeln den Radiusum p, so erhält man mit ihnen zwei concentrische Kugeln, welche die Ebene @berühren, die Kugel p von innen, die Kugeln- R und r von aussen.