CALCOLO INTEGRALE CAP. V.

. H* l L±A! , la serie regolareV(i-t-i) v £ °

3Z

Fi

ir

6

ec.

l(^)— i h- A. A — A -+• 3 -Al

V ' 22 2‘44 2.4.6

La quarta parte dunque deirellisse, cioè Ei saia = 2BK —1 -+• b , giacche la differenza tra i due archi BK, AK è 1 —à , e si avrà

Ei =

2G

V ( I -+è)

— I —f- b H- 2 II (

V( * *+ b )

7 I -+ V( I -+b) \

V6

Siccome 1’ ellisse si suppone allungatissima , così le poten-ze di b y saranno quantità assai piccole, perilchè sviluppando inserie il valore di Ei, e trascurando le potenze ottave di b , ele superiori ad esse, avremo

Et = 1

J-V _ b* _ —b a

4 64 64.

_U ( _L b' -f- L3 . il H- LAA . _LA b 6 -h ec. ) l

* v „ *24 4 2.4.62.4 *

‘_4

b

ove è osservabile che nelle due serie s’ incontrano solo le po-tenze pari di b .

Dono tutto questo ci resterà facilissimo calcolare la lun-ghezza di un arco qualunque E(c,@) per tutti i valori di 9;

imperocché se tang <p < A , la formula ( a ) dà subito il valore

di E ( c , <b ) ; e se tang <p > _L , bisognerà calcolare Y arco BN

per mezzo del SUO' complemento AN , che resta a compire ilquarto dell’ ellisse, e questo stesso complemento si calcolerà permezzo dell’ arco BM , il quale differisce da esso di una quan-tità conosciuta 4 così facendo D"R = <p , sarà RA = 90° — <p ,e se si prende un arco DZ, tale che tang R A = b tang DZ ,ovvero tang ( 90° — <p ) = cot <p — b tang DZ , si avrà per-ii teorema del § antecedente, indicando DZ per <p', E(c , <p') =

AN -4-

c* sen cos .v'ir — e* seti <?>'* ) *

quindi AN = E ( c , <p' )

— i' s _™ì'JlLVL — ; avremo infine

Vii — f l s(n<P' i

• • *