Zweites Kapitel. 9

S

Werthe von III so zu bestimmen, daß die Wurzel verschwindet. Obdiese Werthe kleinste oder größte sind, läßt sich leicht in den einzel-nen Fällen entscheiden.

8- 1.

10 In einen gegebenen Halbkreis soll das Rechteck beschriebenwerden, das den größten Flächeninhalt hat.

Im Halbkreise, dessen Mittelpunkt N (Fig. 4 ), dessen Durch-messer äk —2r ist, sei zunächst das beliebige Rechteck 6LkI) be-schrieben, und es sei IW —x, vk —Der Flächeninhalt desRechteckes ist dann nach dieser Bezeichnung:

(1) A — 2x^.

Da aber die Ecken L und k auf dem Halbkreise liegen sollen, so ist(2) x'-i-v'-r".

Quadrirt man nun die Gleichung (1), so folgt nach der Theorieder quadratischen Gleichungen aus (1) und (2), daß x* und 7'Wurzeln der Gleichung sind:

t-—r-t-j-HU' --- tt oder

( 3 )

Der größte Werth also, den IU annehmen kann, ist r', weil fürgrößere sowohl x als ^ imaginär würden. Ist aber

M -- r',

so folgt aus ( 3 ):

* ^ ^ /2

als Seiten des gesuchten größten Rechteckes. Unter allen Rechteckenalso, die einem Quadranten eingeschrieben werden können, hat dasQuadrat den größten Flächeninhalt. Dasselbe gilt offenbar auchvom ganzen Kreise.

RL. In ein gegebenes Dreieck soll das größte Rechteck beschrie-ben werden, dessen eine Seite auf der Basis des Dreiecks liegt.

Die Basis (Fig. 5 ) sei --n, die Höhe I1kk6 sei

irgend ein Rechteck, dessen Basis auf liegt, U6 sei x, 6k —7.

Man hat nun aus der Achnlichkcit der Dreiecke 8Lk und 8^6die Gleichung: