Geometrische Ausgaben.

29

Derselbe umhüllende Kegel also, der das größte Lolumen hat, be-sitzt auch zugleich die größte Gesammtobersläche. Mau könnte diesResultat auch leicht synthetisch beweisen. Faßt man nämlich denKegel als eine Pyramide auf, deren Basis ein Polygon von unend-lich vielen Seiten ist, so besteht sein Mantel aus unendlich vielenunendlich kleinen Dreiecken. Betrachten wird dieselben aber als Basenvon Tetraedern, deren gemeinschaftliche Spitze der Mittelpunkt derumhüllten Kugel ist, so können wir das Volumen des zu unter-suchenden Kegels als Summe dieser Tetraeder auffassen, wenn wirnoch den Kegel hinzufügen, dessen Spitze ebenfalls im Mittelpunkteder Kugel liegt, und dessen Basis die Basis des ursprünglichen Ke-gels ist. Run aber haben sämmtliche Volumenelemente dieselbeHöhe r. Sondern wir also den gemeinschaftlichen Faktor zr ab, sobleibt als zweiter Faktor die Basensumme sämmtlicher den Kegelzusammensetzenden Körper, dieselbe aber ist nichts als eben die Ge-sammtoberfläche des Kegels. Es ist also das

Volumen — z-r Gesammtobersläche.

Da nun r konstant ist, so hat derjenige Kegel zugleich das größteVolumen, der die größte Gesammtobersläche hat.

SA. Es sei ein Flüssigkeitsmaß von der Form eines abge-stumpften Kegels so zu konstruiren, daß bei gegebener Neigung a derSeiten zur Grundfläche und bei gegebenem Inhalte — l, seine Ober-fläche so klein als möglich werde.

Der Radius des Gruudkreises (Fig. 15) sei gleich x, derdes oberen Grenzkreises KI'8 — ;>, die Höhe des Gefäßes N'öl — ^und die Seite ^6 — s. Man hat nach dieser Bezeichnung:

4 » — x—^oot«,

sin«

x"—

also, da l — ist:

x — j, .

(1) I — ^-rtA« jx'—<x — ^colaHj.

Die Oberfläche lll des zu suchenden Maßes nun besteht aus derkreisförmigen Basis — und dem Mantel eines abgestumpftenKegels. Plan findet demnach: