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Drittes Kapitel.

dessen Basis der Rhombus ^L6V ist. Ferner sei ein

Schnitt des Prisma parallel zur Grundebcne. sei — b. DerSchnittpunkt der Diagonalen ^'(7 und 6'v' heiße 6. Man legenun durch -^'(7 noch eine zweite Ebene die 6^6 in 6 und v'v in6 schneiden mag, so daß also I)'? — 66' — x ist.

Der Rhombus ^'66'6 nun, der den wirklichen Nerschlnß desPrisma, wie er von den Bienen gemacht wird, darstellen mag, be-grenzt offenbar das betrachtete rhombische Prisma so, daß seinRauminhalt nngeändert derselbe bleibt wie bei dem Prisma ^V'6,da die Tctraödcr und 6^V'6'I7 kongruent sind.

Hingegen ist die Oberfläche des Prisma eine andere geworden.Da es sich aber nur um ihre wirklich in Wachs ausgeführten Theilehandelt, so hat man nur den Rhombus 66 mit der Summe desRhombus I)'6' und der beiden Dreiecke ^'6'6-i-6'6t7 zu vergleichen.Eine einfache geometrische Betrachtung zeigt nun, daß, wenn mandie Ebene 6'^/v'(7 um ^7(7 dreht, der Rhombus 66 anfänglichkleiner wird als jene Summe, daß also ebenso die Oberfläche desPrisma bei dieser Drehung anfänglich kleiner wird, bis sie einenausgezeichneten Werth erreicht, der mithin ein Minimum sein muß.

Um denselben aber aufzufinden, hat man zunächst die Ober-fläche N der zu untersuchenden Zelle als Funktion von x darzustellen.

Es ist nun:

v'O — ziu> —

ferner

^.'6 —4/3.» und66--flx'Z-'-?.

Mithin ist der Rhombus

(76ä'6 -- »/3flx--s-1->'.

Ferner sind die Trapeze

ää'66 --- 6(766 -- ->!> — ; ux.

Folglich ist die wirklich aus Wachs gebildete Oberfläche der Bienen-zelte, die aus drei Prismen besteht, wie das betrachtete, mit Aus-nahme der konstanten sechseckigen Basis

— 3sa/3/x'-j-1 »'-t-2iü> — »xs --- Ilk.