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leitet werden. Wenn nun ein Fuß der Röhrenleitung nach ^ «,ein Fuß nach 8 und ein Fuß nach 6 ? Groschen kostet, wo istdann der Brunnen zu graben, damit die ganze Röhren-leitung so wenig wie möglich kostet?

Es seien die Entfernungen ^8 — a und ^6 —b, — x.Alsdann hat man für den Preis AI der ganzen Röhrenleitung(1) N--«x-s-/S(u —x)-s--,(I,—x).

Man sieht hieraus daß AI eine Funktion ersten Grades von x ist.Würde man sich diese Funktion graphisch darstellen, indem man xals Abscissen, AI als Ordinaten aufträgt, so erhielte man eine geradeLinie. Eine solche liefert aber weder ein Maximum noch ein Mi-nimum. Die allgemeine Methode würde also hier die Maximal-oder Minimalwerthe von AI nicht liefern, da eine Funktion erstenGrades, wenn die Veränderliche alle Werthe von—bis-s-oodurchläuft, überhaupt kein Maximum oder Minimum hat, wenigstensnicht in dem Sinne, wie wir es definirt haben. Nun könnenaber dennoch für eine bestimmte Stelle deö Brnnnens die Kostender Röhrenleitung einen kleinsten Werth annehmen. Es muß alsohier die Bedeutung des Minimums einen anderen Sinn haben.Zunächst ist klar, daß der Ausdruck, welcher den Preis für die Röhren-leitung nach jedem ^einzelnen Dorfe liefert, ein positiver sein muß,da ein negativer Preis hier keinen Sinn hat. Es muß daher inGleichung (1) (a— x) und (b—x) positiv sein, d. h. der Brunnenzwischen den Dörfern ^ und 8 liegen. Man hat aber aus Glei-chung (1)

AI --- g/Z-i-Ii)' — —a)x.

Ist NUN —« Positiv, so wird AI so klein als möglich wenn Xseinen größten Werth hat. Da aber der Brunnen zwischen und 6liegen soll, so kann x höchstens — s werden. Dann muß also derBrunnen im Dorfe 8 gegraben werden, und der Preis für dieRöhrenleitung beträgt dann:

sx-j-^(I»—»).

Würde man x noch größer annehmen, so würde AI zwar noch kleinerwerden, aber dann würde AI nicht mehr die richtige Bedeutung ge-mäß der gegebenen Aufgabe haben, indem man dann auch negativePreise mit in Rechnung gezogen hätte.