126

Fünfte« Kapitel.

oder (3)

x*->-U' —

Nun ist aber aus (2)

N -

dx

2x^8 '

folglich nimmt (3) die Form an:

b' ?

1-

(2x—s)' s"

mithin

, ab x

x — 4l n-s- , ^ — V

Hätte man die Gleichung (1) nach U aufgelöst, und dann die ge-wöhnliche Methode angewandt, so würde die Rechnung beschwerlichergeworden sein.

-v. Kürzeste Linie auf dem geraden Kegel.

!ll6 (Fig. 57) sei die Axe des geraden Kegels ^63, ^6 — 8die Kante desselben, ^>1 — r der Radius seiner Basis, man sollzwischen zwei gegebenen Punkten ^ und 6 der krummen Oberflächedie kürzeste Linie bestimmen.

Man ziehe aus 6 eine beliebige Kante des Kegels, welche denGrundkreis in 6, die kürzeste Linie in 6 schneiden möge, verbindeferner 6 mit ük, und bezeichne 66 mit x, W.mit 6. Als-dann kommt es darauf an eine Gleichung zwischen x und S zu fin-den; denn aus derselben könnte man zu jedem beliebigen 6 das zu-gehörige x, also den entsprechenden Punkt auf der kürzesten Liniefinden. Die Lage des Punktes 6 sei nun gegeben durch 66 — sund W. älllv --- «.

Wickelt man den Kegel ab, so verwandelt sich seine Oberflächein den Kreissektor ^,'6'^,, die Peripherie des Grundkreises in denBogen Die kürzeste Linie ^66 aber geht in die Gerade

^'6'6' über, weil beim Abwickeln des Kegels die Längen aller Cur-ven auf seiner Oberfläche unverändert bleiben, und die Gerade diekürzeste Linie zwischen zwei Punkten ist.

Die Länge dieser kürzesten Linie kann man daher unmittelbaraus dem Dreieck ^'6'6' berechnen, indem der Winkel ^'6'6' — «'