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Fünftes Kapitel.

Gleichgewichtes befindet, eine kürzeste Linie dieser Fläche, wie ausdem Obigen ohne Schwierigkeit folgt. Ebenso bewegen sich Punkte,die sich nur unter dem Einflüsse von Kräften befinden, welche noth-wendig sind, um sie auf einer gegebenen Fläche zu erhalten, in denkürzesten ^Linien dieser Fläche.

-L. Es ist ein gerader kreisförmiger Cylinder vomRadius r gegeben, der an einem Ende durch eine Halb-kugel von demselben Radius r begrenzt ist (Fig.64). Manhat ferner auf dem Cylinder einen Punkt ^ und auf derHalbkugel einen Punkt 8. Wie gelangt man auf demkürzesten Wege von ^ nach 6.

Es sei gegeben ^li —a, und der Bogen des größten Kreises88 — b. Ferner sei der bekannte Winkel Ii88 — a.

Es ist nun nach Nr. 72 und Nr. 74 klar, daß ein Punkt, dersich auf dem kürzesten Wege von ^ nach 8 bewegen soll, auf demCylinder den Bogen einer Schraubenlinie und auf der Kugel einengrößten Kreis beschreiben muß. Mair- hat also nur den Punkt 8,in welchem der bewegte Punkt von der einen Fläche auf die andereübergeht, zu finden, da durch ihn der Bogen ^8 der Schraubenlinieund der Bogen des größten Kreises 86, und also der Gesammtwegdes bewegten Punktes völlig bestimmt ist. Man setze also den Win-kel 1188 als unbekannte Größe — <x.

Alsdann ist nach Formel (1) Nr. 72, wenn man n — 0 setzt,die Länge des Curvenbogens ^8:

( 1 ) ^8 —

Ferner folgt aus dem sphärischen Dreiecke 888, wenn man den Bo-gen 86 — ry/ setzt:

(2) cos^ — sinbeoss« —

Es soll nun

»I --- ^8-f-86

ein Minimum werden. Man setze also:

-- -y,),

oder, wenn man die rechte Seite mit der Summe der beiden Glie-der erweitert: