Vermischte Aufgaben.
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Bewegt sich ferner ein Punkt auf einer abwickelbaren Flüchemit irgend einer Geschwindigkeit, ohne daß andere Impulse auf ihnwirken als die, welche nothwendig sind, um ihn auf der Fläche zuerhalten, so ist seine Bahn eine kürzeste Linie der abwickelbaren Fläche.Bewegt sich nämlich ein Punkt von ^ nach 6 mit irgend welcherGeschwindigkeit, so muß er, um auf der Fläche zu bleiben, in 8 einenImpuls in der Richtung der Normalen M erhalten, welcher ihnhindert seinen Weg nach I fortzusetzen, sondern ihn zwingt, auf dasFlächenelcmcnt 66'0' überzugehen. Wir erhalten also die Richtung 60als Durchschnitt desselben Elementes und einer durch M und 61gelegten Ebene, da der resnltircnde Impuls in der Ebene seinerEomponenten bleiben muß. Daraus folgt nun aber ebenso leichtwie oben:
W. 661' -- W. 661.
Da dieselbe Betrachtung aber für alle Flächenelementc gilt, so folgtdaraus, daß sich der betrachtete Punkt in der That anf einer kürzestenLinie der abwickelbaren- Fläche bewegen muß.
-L. Einige Eigenschaften der kürzesten Linien be-liebiger Flächen.
Ebenso, wie es auf den abwickelbaren Flächen kürzeste Liniengiebt, giebt eS deren auch auf allen anderen Flächen.
Dieselben haben sämmtlich die charakteristische Eigenschaft, daßeine Ebene, welche durch zwei anf einander folgende Tangenten ge-legt ist, d. h. die Schwingnngöcbenc der Curve, die Normale derFläche enthält oder eine Normalcbenc der Fläche ist. Dies Resultatfolgt leicht, wenn man in zwei Nachbarpunkten der Curve die beidenTangentialebenen 6^6 „nd 660 an die Fläche legt. Es ist nunoben gezeigt, daß das entsprechende Curvenclcment gleiche Winkel mitder Schnittlinie der beiden Ebenen bildet, daß also ebenso M oder,was dasselbe ist, daß die Normale der Fläche in der betrachtetenEbene liegt.
Daraus folgt sogleich, daß der größte Kreis die kürzeste Linieauf der Kugel ist, und daß bei sämmtlichen Rotationskörpern dieMeridiane ebenso kürzeste Linien sind.
Spannt man ferner einen Faden anf eine beliebige Weise überirgend eine Fläche, so bildet derselbe, wenn er sich im Zustande des