Isoperimetrische Aufgaben.
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indem man W. zu einem Rechten macht. Da aber das Viel-eck ein Maximnm sein soll, also nicht mehr vergrößert werden kann,so muß der Winkel ein Rechter sein. Ebenso verhält es sichmit den Winkeln olo. Die Scheitel aller jener Winkel
liegen also auf einem Halbkreise, dessen Durchmesser ist.
Mit Hülfe dieses Satzes kann man auch leicht zeigen, daß vonallen Vielecken, deren Seiten gegeben sind, dasjenige am größten ist,dessen Ecken auf einem KreiSnmfange liegen, und ferner crgiebt sich,wenn man hierzu noch die Folgerungen aus 76. hinzunimmt, daßvon allen Vielecken, welche gleichen Umfang und dieselbe Anzahl vonSeiten haben, daS reguläre den größten Inhalt hat, und umgekehrt,daß von allen Vielecken, welche denselben Inhalt haben, das reguläreden kleinsten Umfang hat.
-1D Dieselben Sätze lassen sich auch in ähnlicher Weise aufdie Kugel übertragen.
Von allen sphärischen Dreiecken über derselben Basis, welchedenselben Umfang haben, ist das gleichschenklige das größte.
Der Beweis dieses Satzes ist ebenso wie in 76., nur daß,wenn man Fig. 65 ^66 und ^06 als Kngeldrciecke betrachtet, dieentstehenden Dreiecke VM und 661? nicht mehr kongruent, sondernnur symmetrisch gleich sind. Da cS aber nur darauf ankommt, daßder Flächeninhalt dieser beiden Dreiecke derselbe bleibe, so machtdieser Umstand beim Beweise nichts anö. Wie bei den ebenen Drei-ecken folgt nun auch für sphärische, daß das gleichseitige Dreieck beigegebenem Umfang den größten Inhalt, und umgekehrt bei gegebe-nem Inhalt den kleinsten Umfang hat.
Um nun aber auch die in 77. behandelte Aufgabe für die Kugellösen zu können, schicken wir folgenden Satz, welcher auch der Lexell'-sche genannt wird, voraus.
Att. Die Spitzen aller sphärischen Dreiecke, welche über der-selben Basis construirt sind und denselben Flächeninhalt haben, lie-gen auf einem Kreise der Kugel, welcher durch die den Endpunkten'der Ärnndlinie diametral entgegengesetzten Punkte der Kugel geht.
Es sei ^66 (Fig. 67 ) ein sphärischcS Dreieck über der festenBasis ^6, sein Inhalt sei gegeben, ferner seien und 6' die dia-metral gegenüberliegenden Punkte von ^4 und 6, 0 der Mittelpunkt