12

wirflidj F'äöc gibt, in beiten ein fold^er ©cgenfaj) uid)t üorljanben ift, fo fdjeint bieS in ber £Ijat bieSlllgcmeiiigiltigleit unferer Sllgcbva ju geführbcti, uitb mactjt eS zweifelhaft, ob man baS Stcdbt hat,allgemein uoit gebrochenen, uegatiüen u. f. w. 3ahleti ju reben, ohne anSbrücflid) ju erflären, bahbie gegebenen -Definitionen unb bie gefmibeneti OperafiouSregeln mir für beftimmte Slaffcn Don Objectengelten foHcn. Sind) nad) § anfei ift nnfere Slrithmctif nicht eine reine Theorie, welche üon bem 3n-halte ber ju üerfuiipfenbcit Objecte unabhängig ift. „Seite citteS mirflidhett ©egeitfal)eS fähigen Sicla-tionen, biefe wirflidjeu SDljcile eines theilbaren Objectes, ftnb mir getoiffeti Berhältiiiffeu entfprecbeitbeconcrete Bilbcr, bereu ©jiftenj auf zufälligen, aus ber fpczififdjeu Statur bcs beftimmten ©oitcrctenhertiorgchenben Bebingitugcit beruht. Seite allgemeinen formalen Berhältniffe, bereit SKöglidjfcit üon berBefdjränftheif tmferer eiupirifdjeu Sltifdjauitngen unabhängig ift, werben auch nidjt an realen Objecten,fonbertt an intelleetucEen ober au Relationen foIcf)er betrachtet werben tttiiffett, wenn wir uttS üon berSufättigfeit bcS äBirflichen befreien wollen. 5)ie Bebingnug gur SlufftcHung einer allgemeinen Stritt)-metif ift baljer eilte üon aller Slitfdjauuttg loSgelöftc, rein ititeHectuclle SDiat[)cmatif, eine reine Formen-lehre, in welcher uidjt Onauta ober ihre Silber, bie Sohlen, ücrfrtüpft werben, fottbern inteUecttielleObjecte , ©ebanfenbiuge, betten actuelle Objecte ober Relationen folget entbrechen föittteu, aber uid)tmiiffett."*) ®iefe rein formale Blathematif ertoeift fid) als eine „futibamentale ®iScip[iu, welcherebenfomol)! bie Sehre üon ber Berfnüpfung ber ©röfen in abstracto, als berer in ber räumlichen Sin-fchauitng, als ber medjanifdjen ©röfjcn fuborbinirt ift. **) SBir wollen nun feincSwegS bie Berechtigungunb Bebeutung einer ©iöciplin bcftreitcn, weld)e fid) bie Slnfgabe ftellt, bie zmihheu ben Refultatenber mathematifchen Operationen ffattfinbeiibcii Beziehungen ju linterfndjen, rocldje gang unabhängigüon ber Statur ber Objecte ftnb, welche biefeu Operationen z u ©rttube liegen, ober welche, wieOI)ni***) fagt, eine „Sehre ift üon beut ©erhalten beseitigen (fieben) (Betjtanbcö-) !j[)ätigfeitcit zueinanber, auf meld)e bie Betrachtung ber 3af)l (ber ganzen, unbenamifen) führt, b. I;. alfo bie Sehre üonben ®egenfät)en unb ben Beziehungen, in tueld)en biefe erwähnten BerftanbcS-Shätigfeiten zu eittanberflehen;" wir beftreiten nid)t bie Bebeutung beS oben in feinen erften Rnmcnbnngen angebeuteten „©rin-cipS ber ©ermaiienz ber formalen ©efe|e" für bie gortbilbung ber Sßiffeufchaft unb bie Sluffin-bnng neuer 3Bahrl)eitcn. 31 ber baS glauben wir beftreiten 311 tniiffen, bah biefe OiScipliit baS Recht höbe,fnh an ©teile ber mathematifchen RtialtjfiS, ber gew5l)itlidhcn Slrithmetif ober Sllgebra ju fejjen, —etwas, was aud) $anfel feineSWegS beaufpruefjt, ber üieltttehr bie rein formale Bfafljeinatif für „eineburdjaitS neue Sßiffenfchaft" f) erflärt, währenb bei Oh nt ber ©d)cin, als ob feine formale OlnalpfiS

geeignet fei, bie gewöhnliche zu erfe^ett, nur barin feinen ©rttttb bot, bah er ihr nicht „intcHectuelle

Objecte, ©ebanfenbinge" zu ©ntnbe legt, fonbertt bie actucHen ganzen Bahlen, woburd) feine ganze®arfteHung eine „hödjft unerquieflidje 3wittergeftalt" (§anfcl, @. 15) erhält.

©S ift uns zunädjft gerabezu unüerftänblich, wie ein ©djultttann bie Ohnt’fche Sllgebra

für bie Sllgcbra ber Bufimft aud) für bie ©chule holten fann. SSir holten eS für unmöglich, biefe

Sllgebra jttm Berftäubnih ber ©dfülcr jju bringen; fic wirb ihnen nichts fein, als ein utienblichöbeS nnb langweiliges ©inerlel üon Formeln, in beffen Bef© fie fich tnöglidhermeife auf methaiiifdjc

*) gantet, a. a- 0. ©• 9, f.

**) o. fl. 0. ©. 12.

***) ©cift ber tnathematifdjeit ^tualoftä. ©itcleihtng, €>. 16 .+) a. a. O. S. 12 .