28

haben."*) 2Ba$ ober btcfe SarfteEung eigentlich fei, ob bloS eine Slnwenbung bet Slrit^metifauf bie ©eontetrie, wie ©Ifetmann behauptet unb tta^juföeifen fudjt, ober ob fie bie toefeuttidfenBeziehungen ber imaginären Ballett felbft unter einattber unb ju beit reellen Ballen beranfdjaulidjeunb barffeUe, — batüber itrnr man tto<h immer berfdjiebener Meinung. ©0 mirb nach bem Obigenfeinem Bttieifcl unterliegen, bafs icfj bie ledere Meinung für bie richtige batte: 0acfje unb Bilb ober®arfteEung«mittel entfprecfiett fid) fo genau, bafi, wenn man einmal berftanben bat, auf WelheSBeifebie ©ttecfen geometrifh abbirt, fubtrabirt u. f. m. toerben, bie algebraifdje Operation unb bie geo-metrifcbe (Sonffruction einattber genau parallel taufen, fo bap man bie algebraifdbett ©ä|e nidbt nur,nacbbem fie anbermeitig bemiefen finb, nachträglich burch (Eonftrnction berificireit, fonbern bah man fieauch felbft burch ßonftruction bemeifen fann.**) ©0 bot felbft Stientann, ber Begrünbet berSljeorie ber gunetionen complejer Beränberlihett in ihrer abftracteften gönn, fidj nicht gefreut, bonber geometrifcfjeu Elepräfentation eomplejcr Bariabeler nicht nur einen beiläufigen, fonbern burchgebenbenunb roefenttichen ©ebraiith 31 t machen. ***)

SBenn unfer Bablenfbftetn fo bie Möglichfeit barbietet, nicht nur quantitatibe Unterfdfiebe au«»jubrücfen, fonbern auch biefe Quantitäten als nach berfhiebenet Etihtung gebenb ober mirfenb ju be-zeichnen, nämlich in einer burch bie gaffuttg ber bortiegenben Aufgabe feftgefteHten birecten, einer biefergrabe entgegengefe|tcn unb in irgcnb einer Dtichtung, welche beim Uebergange bon ber birecten jur ent-gegengefeiten ftattfinben fann, fo bezeichnen bie gemeinen contplejen Bahlen, Welche ben le|teren Ueber-gang auSbtücfen, hoch nic^t, itt weihet (Ebene biefer Uebergang erfolgen fall, fonbern ttut, umweihen SBinfel man fidj bereit« bon ber anfänglichen Stiftung entfernt bat. SBcit entfernt alfo, öafseg unfern fogenannten imaginären Bubten fhott an ©ubftraten in ber SBirflihteit fehlte, fo bietet biefeSBirtlidjfeit bielmebr in ben Etaumgröficn unb in ben Kräften eine gröbere Maunihfaltigfeit bon Sftih-tungeu bar, als bap wir fie alle burh einfahe Bahlen unfcteS Bahlenfpftemö ju bezeichnen unb zuunterfheiben bermöhten. SBarum es untbunlih fein würbe, unfer Bablengebiet 31 t biefetit Bwecfe noh31 t erweitern, bat ©auf befanntlih am 0hluffe feines 2luffa|e« bon 1831 in ben ©öttingen’fhengelehrten Slujeigeu nahjuweifen besprochen, ift aber jur ©tfüEuttg feine« Berfptehen« uiht gefomtnen.§attfel bat biefe grage beantwortet.f)

gügen wir nun noh einige Bewertungen übet bie Operationen bei.

©ie Slbbition beruht auf ben beiben ©rttnbfä|en: a + b = b + a, unb a + (b 4 -e) =(a + b) -h c, weihe uiht bewiefeu werben fönnen, fonbern burh eine ©i'plication boEfoinmen ebibentwerben. 3n febetn gaEe finb in ber ©umtne alle ©beite ber einzelnen ©utmnanben enthalten unbnichts Weiter. SBittftcin meint fälfhlih» bafi bie Slritljmetif nur ben einen ©rmtbfa| a + bsrb-f-a nötbig habe, ff) Bene ©igenfhaft ift bie bon ben ©nglänbern unb nah ihnen bon £>anfelfogeuannte'commutatibe, biefe bie affociatibe. ®ie 0 ummc ift ftetS bas Bugleihfeiti «Her ©heileber einzelnen ©ummanben; bie Sfteihenfolge ber ©ummanben beftimmt nur bie Beitfolge, in welcher fihbaS ©ubject biefe ©heile einzeln bergegeuwärtigt, änbert baher nichts an ber ©untme. Sitte« wa« man

*) (gefdjicfjtlidjeS über bie ffiinfüfjrung bet imaginären äapeen f. b. § anfei, in ©tonau'8 Slbfjanblutig, in bembef. berßiteratur über biefen ©egenftanb geroibmeien Slnpange t>on SÄiecfe’8 Sftedjnung mit tftidjtungSjaDlen u. a. a. 0.

*') ®ajj Stierte bie« für untfiunlid) hält, fo lange 3af)l unb Sinien nidjt ibentifdj feteb, ift bei §auptgrunb, roe8-halb et glaubt, bie 3af)l grabeju al8 gemeffene ßinie befiniten ju muffen (a. a. 0. ©. 118 ).

***) § anfei a. a. 0. ©. 81.

f) a. a. 0. ©. 108 .

ft) Sebtbudj ber Slritbmetif. 8 6.