gu irgenb einem Sumutanben ^iujulegt ober üon ißttt wegnimmt, fomrnt auch jur Summe ßingn ober iftbon ißr roeggenommen (ba§ affociatibe SPrincip für pofitibe uttb negatibe Summanben). Äann man einmalpofitibe unb negatibe Baßlen abbirett ober ju einer Streife eine anbere in berfelben ober in entgegen-gefegter Sftid^tung ßingulegett, fo fießt man leidjt, mic man bom ©ubpuuft ber erften Stretfe auch ineiner anbent Sftic^tung fortgeben, wie man fo eine compleje Baßt ju einer reellen unb bann weitercompleje Baßlen S u einanber abbiren fanti. Sie Slbbitiou ift ferner nach bent Obigen eine boH-fomrnen einbcutige Operation, b. ß. bic Summe bat für biefelben Sunttnanben nur einen beftimmtenSBertb, unb änbert ficb ftetö, wenn nur ©in Summanb ficb änbert, wäbrenb ber ober bie übrigen con-ftant bleiben. ©6 gibt baber nur eine Babl x, welche ber ©leicbung genügt x + b = c; nennen wirbiefe Baßl c — b, fo gibt eg für benfelbett SJtinuenb ober Subtrabenb nur eine ©ifferenj; and) bieSubtraction, bie Umfebrung ber Slbbitiou, ift boHfommeu einbeutig. ©benfo gibt eg wegen ber©ommutatibität ber Slbbitiou, weit biefelbe Bubt x r welche ber ©leicbung x + b = c, genügt, aitcbber ©leicbung b -t- x = c genügen muß, nur ©ine Umfebrung bet Slbbition, b. b- man finbet für bie-felbe Summe unb benfelbett gegebenen Summattben benfelben gefndjtett Sunttnanben, biefer mag bererfte ober jweite Summanb fein.
Sie SÄultipIication läßt ficb, fo lange ber SJtultiplicator eine pofitibe ganje Baßl ift, befi*nirett, inbem man fagt, baß ber Sftultiplicanb fo oft alg gleicher Summanb gefeßt wirb, alg ber Sftul-tiplicator angibt, grage icb micß aber, wag bag ßeißt, f° werbe idf fofort ju ber Definition ber 2Rul-tiptication geführt, welche für unfer gangeg Babletigebiet augreicßt: Wie man aug ber ©inbeit ben Sttul-tiplicator erhält, fo erßält man attö bem Sftultiplicanben bag Sprobuct. Diefe Definition ift tiberaugeinfaib; benn fie feßt nicßtg öoraug, alg baß man bie ©ntftebung einer Baßl aug ber ©inbeit fenne;an Stelle ber ©inbeit feßt man bann ben SJtultiplicanbug unb berfäßrt mit ißm ebenfo. Diefe ©r-fläruttg reicht boHfotnmen aug, fo lange ber SJtuItiplicator eine einfache 3abl ift, biefelbe mag pofitib,negatib ober imaginär, — ganj, gebroden ober irrational fein. 3ft bagegeu ber SKultiplicator einegufamtnengefeßte Baßl ober eine angejeigte Operation, fo barf man nicht mit bem SJtuItiplicanbug berSteife- naih biefelben berfcßiebenen Operationen borneßmen, bie mit ber (Sing borgenommen werbenmüffen, um ben Sttultiplicator jtt erhalten. Sollte man 3. SB. 1/4 (1/9)-mal nehmen, fo ift 1/9 aug1 entftanben, inbem man 1 9 mal alg gleichen Suttttnattb gefeßt, unb aug ber Summe bie SBttrjelgezogen bat. SBoHte man ebenfo mit V/4 berfaßren, fo erhielte man [/9 • 1/4 = 1/6, ftatt 6 (bon berBmeibeutigfeit ber SBurjeln abgefeßen). SSag Sacobi gegen biefen ©inwurf Oßtit’g fagt,- fdbeintmir wenig jutreffenb.*) Stilgemein wirb man fagen fönucu: wie mau bureß Streetung **) unbgtichtunggänberung non ber ©ing 311m SJlultiplicator gelangt, fo gelangt man bom SÄultiplicanbuggum Sprobuct; b. ß. man muß ben SRultiplicaubug in bemfelbeu SBerßältniß ftreefen (ober berfürgett)unb um benfelben SBitifel breßen, um 3um Sprobuct 31t gelangen, wie man bie ©inßeit ftreefen unbbreßen muß, um ben SJtuItiplicator 31t erßalten.
Slucß ber SÜJfuItipIication fomrnt bie ©ommutatibität 31t. Saß aber a • b = b • a ift, ift fei-negwegg an fidß flar, wie bie entfpreeßenbe ©igenfeßaft ber Slbbition, fonbern muß bewiefen werben.Ser SBeweig wirb für ganse Baßlen bureß bag befatmte Schema bon ©infen in ber ©bene geführt.3ft and) bie „geometrifeße ©onftrnction“ hierbei entbehrlich (inbem tnan fieß, wenn man b Summanbeti
*) £>f)ni, ©eift ber matfyematifcfjen «tnalijfis. (Einleitung, 8 . 13. Sgl. Sacobi im Sfortaer (Programm bon1848 , ©. 16 . • —-..
**) „Steilung U nb (ßeroielfältigung" genügt nid;t, roegen ber irrationalen ©töpett.