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a fjat, auch auS jebem a immer eine ©iuS genommen benfen fann, »oburch man ainal ben ©unt*manb b erhält), fo neranfdjaulicht bod) bie geometrifdjc ©onftruction ben 33eroeiS. ©ntfprec^enb bentanalogen Srrthum bei ber Rbbition ift SBittftein aucf) hier ber Meinung, bah man burd) roiebet*holte Sinmenbung beS ©apeS a*b = b*a bemeifcn fönne, bah aud) bei 3 gactoren a*b*c bieSpeisenfolge ber SRuItiplicationen gleidjgiltig ift. 9luS jenem ©atje folgt aber 3 . SB. nur, baf)(a • b) • c = (b • a) • c = c • (a • b) = c • (b • a). ©S ift aud) Idee öielmehr bie affociatioe ©igen*fchaft, »onach a • (b • c) = (a • b) • c ift, eine bon jener erften unabhängige, uub muh beShalb für bieSRultiplication ebenfalls bemiefen »erben. Oer SBemeiS läft fid) entweber bur<h baS cntfprechenbe©d)ema von ©infen im Raume führen, ober inbem man in bem ©chema in ber ©bene a an ©teileber 1 fc|t. RuS beiben ©ä|en jufammen folgt bann bie ©Ieichgiltigfeit ber Reihenfolge bei mehrals 3 F'acforcn.

Oie SDPultif)lication ift ferner mit ber Rbbition eng berbunben burd) bie biftributibe @igen-fchaff, »onach (b -+- c) a = ba -f- ca ift, ober, »ie auS biefer ©leidjnng bermöge ber ©ommutatinitätfolgt, a (b + c) = ab -f- ac. 9luS einem biefer ©ätje ergibt fid) mieberum oermöge ber Sominutati-bität ber entffjredEjenbe @a| für bie SRuItiplication 2er Spoltmomc.

SSon befonberer SBebeutung ift nun noch für bie Rbbition unb SDiultiplicatian baS SBorhau*benfein je einer 3al)l, bie mit irgenb einer anberti 3ahl burd) jene Operation berbunben, biefelbe umberänbert läft. (SS ift bieS ber „SRobuluS" ber betreffeuben Operation. *) Oer ©tobuluS ber Rbbitionift 0, ber ber SRultiplication 1. RuS jener ©igenfdjaft folgt bann »eiter unmittelbar, baf) ber ffltobnlaudh burd) bie inberfe Operation mit irgenb einer ©röfie berbunben, fie nicht beränbert, unb ba| ber*felbe jebeSmat erhalten »irb, menu man irgenb eine Bohl mit fic£) felbft bnrd) biefe inberfe Operationberbinbet. SSeil a + 0 = a ift, ift nicht nur auch a —0 = a, fonbern auch für jebeS beliebige aa — a = 0. SSBeil l*a = a ift, barnm ift a:l = a, unb a:a = l. SBeibe Folgerungen ergebenfirf) unmittelbar auS ber Oejinition ber inberfen Operation. Oer SRobuluS ber Rbbition (0) hat abernicht blofj bie ©igenfd)aft, baf er, 311 irgenb einer 3 ahl abbirt, biefelbe unberänbert läpt, fonbern aud)in Ziehung auf bie SRultiplication bie, bah er, mit irgenb einer 3al)l multiplicirt, felbft unberänbertbleibt; eine ©igenfdjaft, bie unmittelbar auS jener erften folgt, wenn 0 ber SDPultiplicanbuS ift; bennnach ihr muh 0 + 0 + 0... = 0 fein, »eil 0 ber SftobuluS ber Rbbition ift. ÜDtan hot gefragt,ob 0 eine 3ohl fei ober ein blojkS Seichen. Sch glaube, eS unterliegt feinem 3»eifel , bah 0 eine3ahl ift. SBie liehe fie ficf) fonff mit Sohlen Dergleichen? (bgf. oben bei ben irrationalen 3ahlen.)Oie 3ahl 0 entfpridjt ebenfo einem »»fliehen fünfte ber Sahlenlinie, »ie jebe anbere 3 ahl; aber 0ift bie Zeichnung für feine ©röhr, feines ber in Rebe ftehenben Objecte, für nichts. OeS*halb ift a*0 = 0, benn eS bebeutet: fein a, fo »ie ber SRultiplicator 0 felbft bebeutet: fein ©ins.

Sn Folge biefer ©igeufdjaft ber 0 befipt bie SDPultiplication nicht mehr bie nollf ommene©inbeutigfeit ohne alle RuSnahme, fo»ie bie Rbbition. 3»ar h“t jebeS Sprobuct nur einen äBerth;aber »enn 0 ein Factor ift, fo fann ber anbere Factor fich beliebig änbern, ohne bah b Q SSßrobuct fich änbert. §ierauS ergeben fidj bie befannten Unregelmäjügfeiten in ä^iefjung auf bie um*

0 a

gefchrte SDtuItiplication, bie Oiöifion. q- fann jeben beliebigen SBerth haben, ift unenblicf) nielbeutig, unb q-

hat gar feinen SSerth, »eil eS feine 3af)l gibt, »eiche mit ber abfoluten 0 multiplicirt, a gibt, »ährenb

’) gantet, a. a. D. ©. 23.