35
Die SBebeutung oller biefer Slugbriicfe ift genau analog bet bet SWultiplication mit 0 , mit
— b, mit unb mit —nur baf überall an ©teile ber gleiten ©ummanben gleiche gactoren.
treten, ©o Ijeifjt a (—b)-mal genommen: eg fehlen b ©ummanben a, bamit mau 0 ©ummanbenober 0 habe, ober, b ©ummanben 311 bem ^robucte abbirt, gibt 0, b. h- a-(—b) = — a-b u. f. w.
3 ft ber Sjponent eine irrationale 3 ahl, fo fattn man bem SBertfje ber ^potenj (o naEje fommen,alg man will, inbem mau für bie irrationale Sold ifjr möglichft nahe liegenbe rationale Salden ein-fc£t. Slber bie UnmöglicEjfeit, fd)on in biefcm galle ben roirflicfjen Sßerth ber ^JJotenj 31t erreichen oberaud) nur 311 befinden, legt bag ©ebürfnifj nalje, eine allgemeine Definition ber $ßoteu3 31t finben,welche gütig ift, toenn ber Sjponent irgenb eine Said aus unferm gefamntten SaEjlcngebiete ift. DieSluffteUung einer folgen ^Definition hat er^eblicfje ©d)Wierigfeiten. SDtan fagt etwa: „bie ^oten3 ent-fielt aug ber ®runb3ahl ebenfo burd) Sttultiplication, wie ber Sjponent auö ber Sing burch Slbbi-tion." *) Slber wie entfielt ber Sjponent aug (Sing „burd) Slbbition?“ Sllfo etma: burd) 3 erlegungber (Sing ober ifjreg (Sntgegengefefsten nnb SSerbielfältigutig beg fo Erhaltenen, ober mit anberu Sorten:burd) Darftellung ber (Sing ober iljreg Sntgegengefefjten alg ©umme oon gleichen ©ummanben unb©ejjung ber (Sing, iljreg Sntgegengefei)ten ober ber fo eben erhaltenen „aliquoten S^ljeile" berfelben alggleicher ©ummanben. @et)t man hier an ©teile ber Sing bie SBaftg, an ©teile ber „©ummanben*„gactoren“ unb an ©teile ber „aliquoten &heile" etwa „aliquote 3ßur3eln*, fo hot mau bie ^ffotengbefinirt; aber biefe ^Definition reitet eben nicht weiter, alg wir oorhin fdjon gefommen waren. Stufbiefe SBeife ift, wie wir gefehen haben, bie irrationale 3 ahl aug ber (Sing überhaupt nicht 31t erreichen;wir mufsten eg aufgeben, bie Sohlen „burd) Serlegung unb SBerbielfältiguug" ber (Sing cntftehen 311 laffen,ba man hierburd) nur 31t bigcreten ©rohen, nur 3U ben rationalen Sohlen gelangt; wir werben fomitauch bie Sjponenten aug ber Sing nur burch ftetige Sunahmc entftehcn laffen bürfen.
fiäfjt man bie Opponenten fo burd) ftetigeg SBachgthum aug ber Sing entftehen, fo wirb berfrühere fßote^wertlj jebegmal mit bemfelben ^actor multiplicirt, wenn ber Sjponentum biefelbe ©trecfe ober Saht 3ugenomtnen hot, fo baf) alfo bie fßote^werthe ftetS einegeometrifche hteihe bilben, wenn bie Sjponenten eine arithmetifche 9 teit)c bilben, wobei eg gaii3 gleich-giltig ift, wie grop bie Differcttj ber [enteren unb ob fie ein SSielfaches eines aliquoten SDh^ifeS berSing ift ober nicht. 9 Kit welchem QEactor aber ber frühere ipotetijmertE) für irgenb ein Sncrement begSjponenten multiplicirt wirb, bag hängt öon ber ®afig ber Sßotenj ab, ba burch ft e beftimmt Wirb,bafj, wenn ber Sjponent um 1 junimmt, ber ^otenjwertlj ftetg mit biefer 33 afig multiplicirt wirb.
Die graphifche Darftellung biefeg ©efeijeg ift befanntlid) bie logarithmifche Eurbe, berenSlbfciffen bie ftetig wachfenben Sjponenten unb bereit Drbinaten bie ba3U gehörigen fßotenjen barftcUcn.Diefe Euröe ift bon großer ÜBebeutung nicht nur jur S 5 eranfü>aulid^nng ber ©efejje ber sj$otcn3enred)-nung unb ihrer beiben Umfehtungen, fonbern auch jur grapljifchen Sluflöfung ber Slufgabcn aug biefeit3 Stedmungcn. Sei fftietfe finbet man eine jiemlidt) eingehenbe ÜBeljanblung biefer Suroe unb ihrerSlnwenbungcn, auch für ben gaH, bap man eg mit imaginären Sjponenten 31t tljun hot.
Die ©djmierigfeit einer aUgemeitien begrifflichen Definition ber ^otenjirung h ß t olfo ihren©runb barin, bah bie Slufnahme ber Sigenfchaften ber ©tetigfeit unb ber Sfcidjtunggoerfcljiebenheit inben Sohlbegriff ober bie Erweiterung beg Saljlengebieteg burch Sinführutig ber irrationalen unb ima*
*) SHiecfe, a. a. £>. 6 . 145.