ginären 3apleu gu einer Bfobificiritng beS S&egriffS ber „Slbbition" nötigt, fo bah man bieftetige Slenberung nnb (für imaginäre ©uutmanben) aud) nod) bie Sleitberung in einer bon berucfprüttglicpen abweidjenben Stiftung in bcnfelben aufnimmt, unb bafi min bie grage entfielt,loelcfjeg bie entfpreepenben Beränberungen in bent Begriffe ber Bfultiplication finb. Da-gegen patte bie aHgemeine Definition ber Btultiplication feine ©dpwierigfeit, meit man fagen fonnte: grabefo wie man auS ber Eins ben SDlnltipIicator entfielen läfst, fo entfielt auS bent äRultiplicanbuS bas Pro-buct. Dort waren bie geontetrifepen Operationen alfo (©treefung uub fftidjtungSäuberung) genau biefelben,bei ber Potengirung miiffen bie mit ber BafiS Dorguncpmcnbcn Operationen erft gefuept werben, welcheber ©treefung uub fÄidjtungSänberung cntfprcd)cn, bie mit ber Gins öorgenommen werben miiffen, umgum Exponenten 511 gelangen. Ob fid ) überhaupt eine begriffliche allgemeine Definition ber potengfinben läßt, ober ob man fiep mit ber geontetrifepen DarfteHnng ber Potcngcn, wie fie in ber loga-rit^mifdjen Eurbe borliegt, 31 t begnügen hat,*) bas gu unterfudjen, liegt jcöenfalls über bie ©rengeuhinauf welche bem Unterricht ber ©djule gefteeft finb.

SBeil bie Eommutatiöität ber Potengenrecpnuug nidjt eignet, weil alfo im Slügcmeincn a b nichtgleich b a ift, batum gibt eS auch bon ber Potcngenrccpnung niept nur eine Umfehrnng, wie bon benfrüheren beiben birecten Operationen, fonbevn gwei. ES finb im SlUgcmeinen burdjaus berfchiebetieSaplen, welche ben ©leicpungeu genügen

x* = b unb a* = b.

Dap bie logarithmifche Eurbc ein borgüglicpeS Bfittel gur angenähevten geometrifchen Darftettung beSStefultatcS auch biefer beiben ^Rechnungen bietet, ift fdjon gefagt. Slugenöpert ift biefe Darftellung nur,Weil man nur im ©tanbe ift, bie mittlere gcometrifdjc proportionale ober bie O-uabratwurgel besProbucteS je 2er ©tredfen genau geometrifch 311 conftruiren, unb weil mau fid) beSpal 6 nur eine aller-bingS beliebig gropc Slngapl bon Puitftcu ber Iogarithmifchcn Eurbe gu berfepaffett bertnag, inbemman immer auf bem Sotpc, welches in ber URitte gwifdjen 2 bereits gefunbenen Orbinaten errichtet ift,baS geometrifche Btittel biefer beiben Orbinaten abträgt. Daß ferner fchon bie OuabratwurgclauS-giepung gur (Erweiterung bes 3apIcngebieteS bitrd) Einführung ber irrationalen unb imaginären 3aplettnöthigte, ift ebenfalls bereits gefagt. SBir haben gefepen, bah bie Behauptung, eS gebe feine Ouabratwurgeln ober überhaupt feine SBurgeln mit grabgahligett Exponenten auS uegatiben 3at)len, nur banneine begrünbete wäre, wenn man bewiefen hätte, baß eS außer bei: bisher befannten, pofitiücn unb nega-tiuen 3aplen feine anbern geben föntte, nnb bafi in Ermangelung cincS fold)eu BeweifeS jene BehauptungburcpauS nicht beffer begrünbet ift, als wenn man behauptet: es gebe feine 3al)l, welche 4mal genommen1 ober 9 gibt, gumal ja, wie wir gefepen haben, auch bet ©inwanb, bah bie imaginären 3ahlcn nidjtin allen gälten «Realität haben, fid) gang ebenfo fepon gegen bie gebrochenen 3al)len geltcnb machen läßt.

§ebcu wir nun auS ber Sßurgclrccpnung nur nod) einen Punft perbor, welcher befonbererBeadjtung bebarf, ba Unfenntniß ober fRidjtbeacptuug beffeiben eine ber frudjtbarften Ouellen ber fo-genannten „Paraboricen beS falfülS" geworben ift, unb ba noch immer mauuichfache Srrtjjümcr überbenfelben obwalten. 3ep meine bie Bielbcutigfeit berSSurgeln. Da finbet man uid)t feiten als©tunb bon fall chen fRcfultaten, welche fofort bermicben werben, wenn biefe Biclbeutigfeit gehörigbeachtet wirb, bielmehr ben angegeben, bap man bie imaginären @röpcn niept opne weiteresnad) ben für bie reellen gefunbenen ©efepen bepanbeln bürfe, unb man belegt bieS etwa mit fol-

*) Bur Sadje unb ju biefen 3 (eßten Operationen überhaupt »gl. utan übrigen« Opm, (Seift u. f. tu. 6. -Sap.