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Raum gefundenen unterscheidet, nämlich um ^ är —Q»/die Intensität des

Widerstandes, § eine Funktion von r ist.

Lagrange versuchte dann das Problem ganz allgemein zu lösen. Er unterscheidet sich auch sonstin der Fragestellung wesentlich von seinen Borgängern. In seiner ersten Arbeit über diesen Gegenstandin den Memoiren der Berliner Akademie vom Jahre 1765 (8ur lös oourloss tantoollrones) sprichter dasselbe folgendermaßen aus: „Hnslls sst, an Asnsral, 1a toros näeessaire pour proäuirs lstautoolrroiiisills en la rsAg-räant oornoas uns konotion t^uslooii^us äs l'espaoe et cle la vitssse?^Die Lösung, die er in dieser Arbeit davon giebt, ist folgende: Bezeichnet man mit n die Geschwindigkeitdes Körpers in irgend einem Punkte seiner Bahn, mit x die beschleunigende Kraft, mit x und a dennoch zu durchlaufenden, resp. den ganzen Bogen, so ist die Zeit, die der Körper braucht, um x zu/*äx

durchlaufen, F —. Diese Zeit muß von a unabhängig sein. Es muß, wenn man nach der Inte-gration x —a setzt, a aus dem Ausdrucke verschwinden. Versteht man also unter X und X zweiähnliche Funktionen von x und a, so muß nach Substitution von X — sX, eine Funktion

sein, die nur von 2 abhängig ist. Differentiirt man daher, indem man x und s. als variabel betrach-tet, so muß, wenn man äx —X'äX, äa —X'äX (X' und X' Functionen von X, x, X, s.) und6X durch seinen Werth Xäs-»-säX ersetzt, der Koefficient von äX gleich 0 sein. Da nun n eine

Function von x und a, also äu — käx-I-Häa, wo in Folge von uäu- 4 -xäx — 0, k — —so wird das Differential von ergeben:

XX'

äs -

sX^sb u

äx-^0.

^/'9tz)äX, also ^

n V u ^ / u u-

Hieraus wird bestimmt, so daß man als vollständigen Ausdruck für äu erhält:

u V äx u / Ä

wo k —XX', « —XX', also § eine Fnnction von x, « von a, ist. Bezeichnet nun k den aus xund u zusammengesetzten Factor, der die Gleichung äu-^-^^ —0 integrabel macht, so muß der-selbe, als Function von x nnd a betrachtet, auch — 0 integrabel

machen. Das erfordert einerseits, daß k - -ck- constant, andererseits daß u^ä§

äx

nän -t- päx

ein

vollständiges Differential sei. Dies ist aber nur möglich, wenn n^ä§

eine Funktion von

äx

allein ist. Bezeichnet man daher mit ^ eine Function dieser Größe, so ergiebt sich für die beschleuni-gende Kraft x>, die nothwendig ist, um Tautochronismus hervorzubringen, folgender allgemeine Ausdruck:

's»

§äx

n X L L2

Setzt man z. B. -> — k-1- Z - 4 - ll ^ (b, 8- ^ constant), so ergiebt sich, daß die nöthige