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Um diesen Ausdruck zu integriren, wendet Recker dieselbe Methode an, die Bernoulli und Eulerbenutzt hatten. Er setzt den Ausdruck gleich einer ähnlichen Function von der Dimension 0, d. h. gleich— 6k
M - Dadurch ergiebt sich dann:
K - 6" " ^6x - ^ ^6r- —6x-^ --- 6r6r.
Indem er nun äx durch czär ersetzt, ergiebt sich ohne Schwierigkeiten
——-Ackcz — är,
woraus sich dann
Zx-
-kr-1-v
n- - 2
als Gleichung der Curve ergiebt, wo V und I) noch zu bestimmende Constanten sind. Was nundiese betrifft, so muß v gleich 0 sein, da x unv r gleichzeitig 0 werden müssen. Die andere Con-
stante L bestimmt sich aus der Bedingung k—0 für r—0, woraus folgt L:Er findet also als schließliche Curvengleichnng
4ax—r^-i-
4amr
Die Curve ist daher für seine Voraussetzung ein Theil einer umgekehrten Cycloide, deren Gleichungbei unendlich kleiner Reibung in die Form 4a.x—übergeht. Dieselbe Methode läßt sich durch ein-fache Zeichenänderung auch auf den Fall des Ansteigens anwenden. Die Resultate sind den obigenanalog. Es war damit also von Neck er nachgewiesen, daß die Cycloide auch noch bei einem Wider-stände, der proportional dem Drucke des Körpers auf die Curve ist, tantochron ist. In dieser Arbeitbehandelt Neck er ferner den Fall, wo außerdem auch noch das Mittel, in dem die Bewegune statt-findet, einen Widerstand wie das Quadrat der Geschwindigkeit ausübt. Bezeichnet 1 die Intensitätdes Widerstandes, so folgt
o.t —- - ---- - —^ ,
6 — - ^6x^^ ^/cii'2—6x-^
wo sich die zweierlei Zeichen auf die verschiedenen Fälle des An- und Absteigens beziehen. Die Me-
— 6k
thode ist dieselbe wie vorher. Er vergleicht den Ausdruck mit der ähnlichen Functionersetzt 6x durch <z6i-, so daß sich als Endgleichung, die zu integrireu, findet:
6r.
Am Schlüsse seiner Arbeit endlich dehnt Neck er seine Untersuchung noch auf die Aufgabe aus, dieTautochrone zu finden unter derselben Reibungshypothese, jedoch unter der Boraussetzung, daß derWiderstand eine beliebige Function der Geschwindigkeit sei, freilich mit der Beschränkung, daß dieserWiderstand unendlich klein bleibe. Durch Begleichung mit der für den leeren Raum gefundenen
Curve, von der sich die gesuchte nur um unendlich wenig unterscheiden kann, bestimmt er auch hier
— 6k
den Ausdruck für 6k, den er wiederum mit der ähnlichen Function vergleicht. Er findet
aus diese Weise eine Gleichung der gesuchten Curve, die sich nur um ein Glied von der für den leeren