als Gleichung der Tautochroue ergiebt, eine Gleichung, die sich für den Fall, daß der Widerstand ein-fach proportional der Geschwindigkeit (n — o) auf Zä^ lrsäs, die Gleichung der Cycloide, reducirt.Laplace behandelt auch noch andeutungsweise den Fall, wo die verzögernde Kraft längs des Bogensallgemein k ist. Er hat dann die Gleichung

Setzt man hierin ^ — 8-1 (8 Fnnction von s, D von t allein), so wird t und ^ eine Function( 1,8

von so daß sich als Ausdruck des Widerstandes findet

ääs äs^ä8

t-I-äs ^ V8ät/Z

ät- 8-ät-äs-

2

k,

wo die erwähnte Function mit bezeichnet ist.

Poisson hat in seiner Uäog,iü<xr>s D. I. x. 368 das Problem auf folgende Weise behan-delt. Bezeichnet s den Bogen der Cycloide, auf dem der Punkt herabfallen soll, so hat man bei einer

constant wirkenden Schwerkraft ^/?s ät —— , ^ wo a der Durchmesser des erzeugenden

Kreises ist.

ergiebt sich daraus durch Integration r —Xrovos—^—. Dies ergiebt für

die Zeit, die der Körper braucht, um den tiefsten Punkt zu erreichen, der x—0 entspricht, D

womit die Unabhängigkeit der Dauer der Oscillation von der Höhe nachgewiesen ist. Daß dies auchnoch der Fall ist, wenn die Bewegung in einem Mittel stattfindet, dessen Widerstand proportional der

Geschwindigkeit ist, beweist Poisson folgendermaßen: Wird dieser Widerstand repräsentirt durch so

ergiebt sich als Differentialgleichung: ^ o

äl? k ät: 2a

I/ AU

Bezeichnet man nun ^ mit /, so erhält man als Integral

und für D aos j/ A -I- «in ^ 0.

Im Folgenden beweist er dann noch, daß im leeren Raum die Cycloide die einzige Tantochronc sei.

Die Arbeit Von Puisenx (8ur lss oourdss tautoolrrvQss. Uiouvillö äouriral. 8äris I.D. IX. 1844) schließt sich an die soeben besprochene Bearbeitung von Poisson an. Puisenx ge-langt zu seinen Resultaten durch Differentiation unter dem Integralzeichen. Indem er die Aufgabezunächst in ihrer einfachsten Form, im leeren Raume bei constanter Schwerkraft, behandelt, bestimmt er

die Zeitdauer der Bewegung 1 — ^ wo s — cp (x), x — Irr:. Da

dieser Ausdruck von ll, der Entfernung des Ausgangspunktes der Bewegung vom Koordinaten.