Anfangspunkte, unabhängig sein muß, so muß sein Differential noch l, 0 sein. Er gelangt dadurchzn der Differentialgleichung 2x^" (x)-i-y/(x) — 0,

woraus sich ohne Schwierigkeit ->(x) oder s ableiten läßt. Es läßt sich dies leicht auf den Fall er-weitern, wo die Kraft von einem festen Centrum ausgeht, das in der Entfernung r mit einer Kraftk (r) wirkt. Es ergiebt sich

woraus wieder zur Bestimmung

4/^ (x) (lx— X

</>'(x)

, wo X ksistär

ist. Hieraus läßt sich der Saß ableiten, den schon Newton gegeben hatte, daß die Komponenteder Kraft nach dem Radiusvektor dem noch zn durchlaufenden Bogen proportional sein müsse. Manhat nämlich:

2D

7r

äs —

?r

2Dk(r)är

k(r)är

Durch Multiplication dieser beiden Gleichungen ergiebt sich dann unmittelbar der Saß:

, är ^säs " 4D- ^

Auch daß die Curve normal zn dem Radinsvector sein muß, der vom festen Centrum aus nachdem Anfangspunkte der in gleichen Zeiten durchlaufenen Bogen geht, ergiebt sich allgemein. Aus-genommen ist nur der Fall, daß k für r —« zu 0 wird. Seßt man 4 (r) speciell gleich mr? vor-aus, so ergiebt sich für ein anziehendes Centrum, daß die Curve mit ihrem Scheitel ihre Concavitätoder Converität dem festen Centrum zuwenden kann; der Radinsvector kann in's Unendliche wachsen;man erhält eine Spirale, die aus zwei unendlichen Zweigen besteht. Der Fall, wo p — 1, wird dann

des Näheren untersucht.

Der Charakter der Curve ist abhängig von der Größe

4D^w

71^

Ist dieselbe

kleiner als 1, so ergiebt sich eine Epicycloide; für den Werth 1 eine Gerade, deren Entfernung vomCentrum gleich « ist. Ist die Größe endlich größer als 1, so ergiebt sich eine Spirale. Ist 4 (r)— m- (r—«), so folgt eine logarithmische Spirale. Die Verallgemeinerung der Aufgabe dahin, daß dieBewegung in einem Mittel erfolge, dessen Widerstand proportional dein Quadrate der Geschwindigkeit,erledigt sich auf ähnliche Weise. Ist Ir der Widerstand für eine Geschwindigkeit gleich 1, so folgtnach dem Princip der lebendigen Kräfte bei Annahme von constanter Schwerkraft

ä^s_ äx ä^s

ät? ^ äs ^ ät?

Seßt manso wird

g- 2ks Ax — I,

^st/(u)än

1 >», st/(u)äu

bezeichnet dabei den Werth von x, für den die Geschwindigkeit 0 ist. Aus den Bedingungen des