gleichung. Der zweite Fall, den Abel als Beispiel behandelt, ist der, daßP (a) von a —0 bis a, —a« gleich P» (a)

a — a« bis a, — a, gleich P, (a)

a — i bis gleich P,„ (a)

sei, wobei Po (no) — P, (a»), P, (a,) — P^ (a,).

als Beschränkung gilt, da ja P, als stetig angenommen ist. Es folgt dann unmittelbar

_ Po (a) da

778 —

7r8 l

/

it

/

von X —0 bis X — a«,

' (a) da

^/a—x

/

' P, (a) daa—x

von x —so bis x —a,,

7l8

_ Po (a) da

1/ü

P, (a) da.a—x

^ P,^(a)da^ ^/a—x

Von X—Älli -1 bis X^ÄM.

An diese Arbeit von Abel knüpfen zwei andere neuere unmittelbar an, die der Herren To-ni off und Meissel . Die erstere (krdletin ds 1'^.oad. ds 8t. ksterodourA. XIII. 1869) behandeltzunächst dasselbe Problem, wie die von Abel, benutzt aber nicht die Enler'schen Integrale, sondernsucht durch Transformation in ein Doppelintegral zum Ziele zu gelangen. Bezeichnet I (x) die Funktion,die sich aus der Gleichung der Bahn für s in x ergiebt, so hat man

< l/x—a

dx

Herr Tom off ersetzt x durch a - sin? 6. Multiplicirt man dann mit ^ und integrirt von 0bis x. Es folgt

4 ^ ü) - r 8in 6rdrd6 Psasda

^/x—I-- l/x—a

wo links nur 8,1 durch r ersetzt ist. Betrachtet man hier r und 6 als Polarcoordinaten, so ist dasDoppelintegral ausgedehnt über die Fläche eines Kreises mit dem Radius x? Sind daher ? unddie entsprechenden rechtwinkligen Coordinaten, so erhält man

k^-)^d§

Dies ergiebt aber nach Ausführung der ersten Integration

k'(^) 2^d»/ —?rk(x),

»

so daß Herr Tom off ebenso wie Abel erhält

/"ML.

^ ^/x — a

0

Herr Somoff verallgemeinert im Verlauf seiner Arbeit das Problem dahin, daß er an Stelle derden Punkt erregenden Schwere eine Kraft mit einem Potential u setzt und den Punkt sich auf einer