Fünftes Kapitel.

45

Die Klassifikation der Gleichungen bestimmt sich nach derBeschaffenheit der Elemente, aus denen ihre Glieder sich zusammen-setzen. Die Gleichungen mit einer oder mehreren veränderlichenGrössen zerfallen in zwei Hauptklassen, je nachdem sie blos Funk-tionen der drei ersten Paare enthalten, oder auch Funktionen vonExponenten oder Kreisverhältnissen. Diese beiden Gruppen vonRechnungselementen bezeichnet man mit dem Namen der alge-braischen Funktionen und der transcendenten Funktionen.Die Entwickelung der letzteren ist noch so unvollkommen, dassdie Auflösung der einfachsten Funktionen zwischen denselben nochunbekannt ist, und selbst die Rechnungs-Methoden beziehen sichbeinahe ausschliesslich auf die algebraischen Funktionen. Ent-halten che algebraischen Gleichungen irrationelle Funktionen derunbekannten Grössen, ebenso gut wie rationelle Funktionen, sowird man mittels der Umwandlung den ersten Fall auf den zweitenzurückfuhren können. In der Kindheit der Algebra waren dieGleichungen nach der Zahl ihrer Glieder eingetheilt worden; alleindies war fehlerhaft, weil es gleiche Fälle trennte und andere zueinander stellte, welche nur ein unwichtiges Zeichen mit einandergemein hatten. Man hat dies nur für die Gleichungen mit zweiGliedern beibehalten, die eine gemeinsame, ihnen eigenthümlicheAuflösung gestatten; dagegen hat man überall sonst die Klassifi-kation der Gleichungen nach ihren Graden angenommen. Dieselbeist eine natürliche, weil sich die Schwierigkeit ihrer Auflösungdanach bestimmt. Auch enthält die allgemeinste Gleichung jedesGrades zugleich die aller niederen Grade. Deshalb muss es sichauch ebenso mit der Formel verhalten, welche die unbekannteGrösse bestimmt. Wie gering man daher auch a priori die Schwie-rigkeit bei einem in Betracht genommenen Grade annehmen mag,so wird sie doch verwickelter bei den Gleichungen, welche alleniederen Grade enthalten, und deshalb wird die Auflösung immerschwieriger, je höher der Grad der Gleichung steigt. Diese Stei-gerung der Schwierigkeit ist der Art, dass man nur die Auflösungder Gleichungen von den vier ersten Graden kennt, und die Al-gebra hat in diesem Sinne keine grossen Fortschritte seit den Ar-beiten des Descartes gemacht. Die Auflösung der Gleichungenfünften Grades ist bis jetzt trotz aller Versuche nicht erreicht