Zwölftes Kapitel.

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.Stellung der Gleichungen durch Linien stützt. Kein einzelnesSystem der Gleichungen verdient allgemein den Vorzug, denn mankann für jede vorgelegte geometrische Definition ein Coordinaten-System sich vorstellen, in welchem man die gesuchte Gleichung derCurve umnittelbar gewinnt, und deshalb muss jenes System noth-wendig nach der Natur jeder Linie wechseln. Das System mitgeradlinigen, rechtwinklig auf einander stehenden Coordinatenp;isst am besten für die Verzeichnung der Gleichungen durch ent-sprechende geometrische Orte, d. h. diese Verzeichnung ist die ein-fachste und zuverlässigste. Nach diesem System sind die wesent-lichen Lehrsätze der allgemeinen Geometrie gebildet worden. Wirddie Wahl eines anderen Systems nöthig, so ist das polare Systemdem geradlinigen System zu sehr entgegensetzt, als dass die sehrverwickelten Gleichungen des geradlinigen Systems im Allgemeinenfür das polare genügend einfach werden könnten. Die von Des-cartes begründete pliilosophische Neuerung passt nur für ebeneCurven; erst ungefähr ein Jahrhundert später hat Clairaut es aufdie Untersuchung der Oberflächen überhaupt und auf die Curvenmit zweifacher Krü mm ung angewendet.

Die rechnungsmässige 'Best imm ung eines Punktes im Raumeverlangt, die Angabe der Werthe von drei Coordinaten; z. B.nach dem geradlinigen System die Angabe der Entfernungen desPunktes von drei festen Ebenen, wo der Punkt dann als der Durch-schnitt von drei Ebenen dargelegt wird, deren Richtung unver-änderlich ist. Man könnte ebenso gut die Entfernungen des be-weglichen Punktes von drei festen Punkten benutzen, wo jenerdurch die Begegnung von drei Kugeln mit festem Mittelpunkt be-stimmt würde. Es besteht hier dieselbe Mannigfaltigkeit ver-schiedener möglicher Systeme von Coordinaten, wie bei der ebenenGeometrie. Im Allgemeinen muss der Punkt immer so aufgefasstwerden, als sei er mittels der Durchschneidung dreier Oberflächenbestimmt. Wenn die drei Coordinaten für einen Punkt nicht ge-nauer bestimmt sind, so kann dieser Punkt alle möglichen Stellungenim Raume einnehmen; soll er aber auf einer bestimmten Oberflächebleiben, so genügen zwei Coordinaten, um für jeden Zeitpunkt seineLage zu bestimmen, indem dann die angenommene Oberfläche dieBestimmung vertritt, welche sonst die dritte Coordinate bewirkt.