Zwölftes Kapitel.

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als Pol aufgefasst wird. Ebenso ergiebt die elementare Definitionder Ellipse und Hyperbel die Gleichung einer krummen Linie,welche durch einen Punkt erzeugt wird, der sich so bewegt, dassdie Summe, oder die Differenz seiner Abstände von zwei festenPunkten beständig sich gleich bleibt, wenn man dasjenige Sy-stem der Coordinaten dabei benutzt, wo die jedesmalige Lagedes sich bewegenden Punktes durch seine Entfernung von zweifesten Punkten bestimmt wird und man für diese Punkte oderPole die zwei gegebenen Brennpunkte benutzt. Man findetimmer ein System von Coordinaten, in welchem man stets einesehr einfache Gleichung der betreffenden Linie erlangt, wennman sich darauf beschränkt, algebraisch die Bedingung auszu-drücken, welche durch die Art der betrachteten Erzeugung derCurve ihr dabei aufgelegt ist. Die Schwierigkeit, in Auffin-dung der Gleichung einer Curve von irgend welchen charakteristi-schen Eigenschaften kommt oft nur davon, dass man sich vorsetzt,diese Curve mit Hülfe eines bestimmten Systems von Coordinatenauszudrücken, anstatt dass man von allen möglichen Systemen ohneUnterschied eines dabei benutzt. Dies ist der allgemeine Weg,dem man zu folgen hat und für welchen keine festen und be-stimmten Anweisungen gegeben werden können. Nachdem mandie vorbereitende Gleichung gebildet hat, welche sich unmittelbaraus der Definition der Curve ergiebt, muss man, um die den defi-mtiv angenommenen Coordinaten-Systemen entsprechende Gleichungzu erlangen, versuchen, in einer Funktion dieser letzteren Coordi-uaten diejenigen Funktionen auszudrücken, welche in natürlicherWeise der Art der Entstehung der Curve entsprechen, um die esS1 ch handelt. Dies wird um so leichter geschehen können, je mehruian von der analytischen Geometrie versteht, d. h. je grösser dieZahl der geometrischen Gestaltungen ist, deren algebraischen Aus-guck man kennt.

Ich habe nun noch über die Wahl des betreffenden Coordinaten-%stems zu sprechen. Man muss hier die beiden Gesichtspunkteder analytischen Geometrie unterscheiden, nämlich das Verhältnissder Algebra zur Geometrie, welches sich auf die Darstellung derLinien durch Gleichungen stützt, und umgekehrt das Verhältnissder Geometrie zur Algebra, welches sich auf die graphische Dar-