Dreizehntes Kapitel.

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darlegt. Es würde sich dabei ergeben, dass diese bewundenmgs-werthe Methode nur auf Vereinfachung des Studiums der Ab-theilung der Kegelschnitte, oder irgend welcher anderen krummenLinien, einer nach der andern, mit Einhaltung des Geistes der altenGeometrie abzielt. Man hat noch nicht eingesehen, dass der Charak-ter unser modernen Geometrie die Fragen über Linien und Oberflächenin allgemeinerer Weise zu lösen unternimmt, indem sie die geo-metrischen Untersuchungen in reehnungsmässige umzugestalten sucht.Man muss hier untersuchen, wie die Geometer dahin gelangt sind,alle Fragen der allgemeinen Geometrie auf reine Fragen der Rech-nung zurückzufiihren. Ich will dies jetzt nur bei krummen Linienund auch nur bei den krummen Linien der Ebenen versuchen.Auch fordert der Zweck dieses Werkes überdem, dass ich michauf die philosophische Prüfung der wichtigsten allgemeinen Fragenbeschränke und jede Anwendung auf besondere Gestalten beiSeite lasse.

Bei jeder krummen Linie handelt es sich zunächst darum, inGemässheit ihrer Gleichung die Zahl der für ihre bestimmte Gestaltnöthigen Punkte zu gewinnen. Man hat hier zwei Fälle zu unter-scheiden, je nachdem die betrachtete krumme Linie durch ihreallgemeinste Gleichung ausgedrückt ist, d. h. durch die, welche füralle Lagen der Curve in Bezug auf die Axen gilt, oder ob esdurch eine beschränkte Gleichung geschieht, welche nur bei einergewissen Lage der Curve zu ihrer Axe Geltung hat. Im erstenFalle bedeutet die Bedingung, dass die Curve durch einen ge-gebenen Punkt hindurch geht, für die Rechnung so viel, als dassihre gewählten beständigen Grössen, welche ihre allgemeine Glei-chung enthält, das Verhältniss unter einander behalten, welchesdurch die Substitution der besonderen Coordinaten dieses Punktesin dieser Gleichung bezeichnet wird. Jeder gegebene Punkt legtalso diesen beständigen Grössen eine gewisse Bedingung auf; damitalso die Curve eine bestimmte werde, sind so viel Punkte zu ver-zeichnen, wie beliebige beständige Grössen in der Gleichung ent-halten sind. Dies ist die allgemeine Regel, indess könnte sie zueiner zu beträchtlichen Anzahl von Punkten führen, wenn die Zahlder verschiedenen Glieder der Gleichung, welche die bestimmtenGrössen enthalten, kleiner wäre als die Zahl dieser bestimmten