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Vierzehntes Kapitel.

Vierzehntes Kapitel.

Von der allgemeinen Geometrie dreier Dimensionen.

Die Fragen rüeksichtlich der Oberflächen lassen sich ebensoeintheilen, wie die in Betreff der Linien. Die, welche von der ge-wöhnlichen Rechnung abhängen, ergeben sich durch ähnliche Me-thoden, mag es sich um die Kenntniss der Zahl der für die Be-stimmung einer Oberfläche nöthigen Punkte handeln, oder umErmittelung der Mittelpunkte, oder der Bedingungen für die Aehn-lichkeit von zwei Oberflächen derselben Gattung. Der einzigeUnterschied besteht darin, dass die Gleichungen drei veränderlicheGrössen haben, während die der Linien deren nur zwei haben. Ich gehedaher gleich zu den Fragen über, welche eine transcendente Rech-nung erfordern und beschäftige mich nur mit den neuen Bedin-gungen in Bezug auf Oberflächen.

Die erste Abtheilung behandelt die berührenden Ebenen.Man kann mittels der Infinitesimal-Rechnung die Gleichung derEbene finden, welche eine Oberfläche nur in einem Punkte be-rührt. Sie wird so bestimmt, als wenn sie mit der Oberfläche ineiner unendlich - kleinen Ausdehnung rings um den Berührungs-punkt zusammenfiele. Um diese Bedingung zu erfüllen, genügt dieErwägung, dass die unendlich-kleine Zunahme durch die senkrechteOrdinate in Folge der unendlich-kleinen Zunahmen zweier hori-zontalen Coordinaten, für die Ebene die gleiche wie für die Ober-fläche sein muss, und zwar unabhängig von jedem bestimmtenVerhältniss zwischen diesen beiden letzteren Zunahmen, da ohne-dem das Zusammentreffen nicht im vollen Sinne statthaben würde.Die Bestimmung dieser Ebene ist damit für jeden einzelnen Fallauf eine einfache Differenzirung der Gleichung der gegebenenOberfläche zurückgeführt.

Man kann die Gleichung der berührenden Ebene auch mittelsder Lehre von den Tangenten ebener Curven erweisen. Man hatdann diese Ebene so aufzustellen, als sei sie durch die Tangentenfür zwei ebene Durchschnitte der Oberfläche, welche an dem ge-