Dreizehntes Kapitel.
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ziehen; indess habe ich schon im sechsten Kapitel die Methodeaufgestellt, durch welche man die Länge und den Flächenraumeiner ebenen Curve erhält, deren geradlinige Gleichung gegebenist. Diese Frage ist deshalb genügend erörtert, und ich begnügemich mit der Angabe, wie der Flächeninhalt und der Inhalt vonKörpern bestimmt wird, welche durch die Umdrehung der ebenenCurven um ihre Axen entstehen.
Wir wollen annehmen, dass die Umdrehungsaxe für die Axeder Abscissen genommen werde, und dass die Abscisse um eineunendlich-kleine Grösse zunehme; dann wird diese Zunahme in demBogen und in der Fläche der Curve entsprechende differenzielleVergrösserungen herbeiführen, und diese werden durch die Um-drehung der Axe die Elemente der 'gesuchten Oberfläche und desInhalts erzeugen. Wenn man allenfalls noch eine unendlich-kleineGrösse zweiter Ordnung, bei Seite lässt, so kann man diese Ele-mente als gleich mit der Oberfläche und dem Inhalt des entspre-chenden Stückes vom Kegel oder Cylinder ansehen, welche zurHöhe die Differenziale der Abscisse und zum Halbmesser seinerGrundfläche die Ordinate des betreffenden Punktes haben. Dannwerden die einfachsten Lehrsätze der Elementar-Geometrie unmit-telbar die allgemeinen Differenzialgleichungen ergeben. Durchdieses Mittel haben die Geometer seit Leibniz eine Menge solcherFragen gelöst, so weit der Fortschritt der Infinitesimalrechnungdies gestattete.
Man könnte zu diesen Untersuchungen auch diejenige zählen,Welche die Schwerpunkte der Bögen und der Flächen feststellt, dieden Curven jeder Art zugehören, weim als Schwerpunkt der Mit-telpunkt der mittleren Abstände angenommen wird, d. h. einPunkt, dessen Abstand von einer beliebigen Ebene oder Axe dasarithmetische Mittel zwischen den Abständen aller Punkte desKörpers von dieser Ebene oder Axe ist; indess gehört diese Auf-gabe in die Mechanik.
Die Fragen der Geometrie mit zwei Dimensionen können so-nach in drei Klassen eingetheilt werden; die in der ersten hängenblos von der gewöhnlichen Rechnung ab; die der zweiten erfordernzu ihrer Lösung die Differenzialrechnung; die in der dritten könnenQ ur mit Hülfe der Integralrechnung gelöst werden.