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Vierzehntes Kapitel.

Ordnung, weil man hier zwei von einander unabhängige Zunahmenin Betracht ziehen muss, während bei den Curven nur eine solchevorhanden war.

Damit jede Berührung in jedem möglichen Sinne um den ge-meinsamen Punkt statthabe, muss man im Besonderen alle dieverschiedenen Grenzen desselben entsprechenden Grades wegschaffen,und die Zahl derselben wird um so grösser, je höher der Gradoder die Ordnung der Berührung steigt. Deshalb 'ist die Lehrevon den Oberflächen weder so leicht noch so vollkommen, wie dievon den Curven. Beide sind einander gleich für die Berührungder ersten Ordnung, welche nur drei Bedingungen verlangt, denenman immer mit Hülfe dreier beliebigen unveränderlichen GrössenGenüge leisten kann, die in der allgemeinen Gleichung der Ebeneenthalten sind. Daraus ergiebt sich als besonderer Fall die Lehrevon den berührenden Ebenen, in ähnlicher Weise, wie die derTangenten der Curven, und für die Erkenntniss der Form einerOberfläche ebenso nützlich. Allein dies gilt nicht mehr für dieBerührungen zweiter Ordnung, welche die Krümmungen bemisst.Es wäre natürlich, wenn man hier die Oberfläche mit der Kugelvergliche, allein die Berührung der zweiten Ordnung erfordertsechs Bedingungen, während die Gleichung der Kugel nur vierbeliebige beständige Grössen enthält. Man kann deshalb nicht fürjeden Punkt irgend eine'r Oberfläche eine Kugel finden, welche imvollen Sinne küssend ist. Man hat sich deshalb hier mit der Kugelbegnügt, welche es in einer besonderen Lichtung sein würde. Beidiesem Verfahren hat man die Krümmung einer Oberfläche in je-dem Punkte durch die Krümmung der verschiedenen Curven er-messen, welche eine Folge von Ebenen auf dieser Oberfläche nachsich ziehen würde, die durch die zugehörige Normale geführtwürden. Euler, dem man diese Lehre verdankt, hat mehrereLehrsätze in Bezug auf Oberflächen entdeckt. Er hat zunächstfestgestellt, dass unter allen normalen Durchschnitten für den-selben Punkt man zwei hauptsächliche unterscheiden könne,deren Ebenen auf einander senkrecht stehen und deren Krümmungim Vergleich zu den vier übrigen Durchschnitten ein Kleinstes fürdie erste und ein Grösstes für die anderen ergiebt. Er hat danngezeigt, dass die Krümmung dieser beiden Durchschnitte genügt,