der sphärischen Trigonometrie. 41

Durch Gleichsetzung der in (k) und (d) enthaltenen Wertliefür MD ergiebt sich:

M C sin. b sin. c cos. A = MC cos. a — M C cos. b cos. c.

Die gesuchte Gleichung ist folglich:

cos. a = cos. b cos. c -}- sin. b sin. c cos. A. (1)

Durch Vertauschung der Buchstaben erhält man aus dieser:cos. b — cos. a cos. c -f- sin. a sin. c cos. B, (2)

cos. c = cos. a cos. b -}- sin. a sin. b cos. C. (3)

In den rechtwinkeligen Dreiecken C D E und C E M (Figur 3924) ist:

CD = CE sin. A, (a)

CE = CMsin. b, folglich auch (b)

CD = CM sin. b sin. A. (c)

Ferner ist in den Dreiecken CD F und C FM:

CD = C Esin.B, (d)

CF = CMsin. a, demzufolge ist (e)

CD=CMsin. a sin. B. (f)

Durch Combination der Werthe für CD in (f) und (c) er-hält man:

C M sin. b sin. A = C M sin. a sin. B.

Folglich hat man:

sin. a sin. B — sin. b sin. A.

Durch Vertauschung der Buchstaben erhält man:sin. a sin. C = sin. c sin. A,sin. b sin. C = sin. c sin. B.

Aus (5) ergiebt sich: 40

sin. a sin. C

sm. c =

( 4 )

( 5 )

( 6 )

sm.

substituirt man diesen Werth in (1), so erhält man:

, i . ,• sin. a sin. C cos. A

' cos. a = cos. b cos. c -4- sin. b -,---

sm. A

= cos. b cos. c -f- sin. « sin. b sin. C cotg. A.

Setzt man hierin den Werth für cos. c aus (3), so findet man:cos. a=cos. fo 2 cos. ci -j- cos. b sin. a sin. b cos. C-\-sin. a sin. b sin. C cotg.A.

Transponirt man cos. b‘ 2 cos. a und dividirt dann alle Glie-der der Gleichung durch sin. a sin. b, so erhält man:

cotg. a sin. b = cos. b cos. C -f- sin. C cotg. A. (7)

Durch Vertauschung der Buchstaben findet man dann aber,dass auch: