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2 2m+l E // _ ( 4x _J _ (4X— l) 3m - S E t

(4x—l) 2 E,

(4x-iy

2m—2

-f (-1)'

(4x—l) 2 “" 1 E

2 Sm + 2 E'(x) = (4x—l)^*

2m-|-l '

(4x-J)E,

(4x—1) E 2

2 2m -'r 3 (2 21

+ (-l) :

(III)

für alle ganzen und positiven Werthe von x gefunden.

Erklärt man aber x als allgemeine variable Grösse, die alsoaller gedenkbaren Zahlenwerthe fähig ist, so nenne ich die betreffen-den Ausdrücke rechterband der Gleichheitszeichen in (II. und III.)wenn sie bezüglich durch 2 2m+1 und 2 2m+2 dividirt werden, die Eul er-sehen Funktionen bezüglich vom geraden und ungeraden Grade,und wenn in (II.) 2m durch m, oder in (III.) 2m-j7l durch m er-setzt wird, wo denn diese beiden Gleichheiten in folgende Eine zu-sammenfallen :

2"+‘ E(x) = (4x—l) m -/“) (4x—l) m-2 E t + ( “ ) (4x—l) m_< E s

(4x—1) !

(IV)

und der hier stehende Ausdruck rechts nach den in (II. und III.) fest-gestellten Formen abzubrechen ist; so nenne ich die durch E(x) angezeigteFunktion von x einfach: die Euler’sche Funktion von x, dieim Falle eines ganzen positiven Werthes von x auch durch Gleichung(I) näher bestimmt wird.

Einige Eigenthümlichkeiten dieser Euler’schen Funktionen E" (x),E' (x), E (x), wie sie durch die Gleichheiten (II., III. und IV.) de-finirt sind, werden wir erst dann mittheilen, nachdem wir vorherEiniges über den Zusammenhang derselben mit den analog benanntenBernoullisclien Funktionen vorgeführt haben werden.