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4. Nach der bekannten Bedeutung und Bezeichnung der Ber-noullischen Funktion nämlich

B (x) = l m —J— 2 1 “ —{— 3 m —|— 4 m —J— ... —J— (x—l) m , (6)

hat man beachtend die Feststellung in (I.) folgende Gleichheit:

E(x) = B(2x) — 2 m +‘ B (x) ,

wo der Exponent m gerad oder ungerad sein kann, also die hiervorkommenden Bernoullischen und Eulerschen Funktionen zugleich ge-raden oder zugleich ungeraden Grades sind. — Ersetzt man hier mdurch 2m, wodurch zunächst

E" (x) = B"(2x) — 2-' m +‘ B“(x)erhalten wird, so hat man beachtend die Gleichheit:

B"(2x) = 2 2m |ß"(x)-(-B"|x-f -11 |

folgenden Zusammenhang:

E"(x) = 2 2m Iß" |x-J- j — B"(x)

*)

(V)

Stellt man aber m der Form 2m-|-l, also die betreffenden Ber-noullischen und Eulerschen Funktionen zugleich von ungeradem Gradefest, wodurch ebenfalls zunächst die Gleichheit

E'(x) — B' (2x) — 2 2m + 2 B'(x)erhalten wird; so bietet diese, beachtend:

(—l) m (2 ,m+ -—1)

B'(2x) = 2 2m+l | B'(x) -f B' | x -j- i 11 + 1

2m+2

' B **1

folgenden Zusammenhang dar:

B'(x) +

(—l) , "(2 2n, +' 2 -

-1)

B

m-(-l

(VI)

E'(x) = 2 2m+1 I „ .

W | \ 1 2 / ' ' \ 1 2m-f-2

wo B m+1 die (m-f-l)te Bernoullische Zahl ist.

Theils zur Verifizirung dieser Ergebnisse, theils auch um einebeachtenswerthe Bestimmung zu erzielen, setzen wir im Vorausge-1

1

Verfügung über x:

2'->m+S _ 1

schickten x = —. Die Gleichheiten (II. und III.) bieten bei dieser

E "(i)=y? E - E, (l)=<- , )‘-

2m-)-2

B,

m-f-i »

( 7 )

*) Siehe meine Sehrift: Die Jakob Bernoullische Funktion, S. 23.**) Ebendaselbst: S. 28.