G R

PROPOSITIO III.

S Patia duo , dgravi cadente quibuslibet temporibus trans-mijfa 3 quorum utrumque ab initio deficenfius accipiatur ,sunt inter fi in ratione duplicata eorundem temporum 3 fiveut temporum quadrata , [me etiam ut quadrata celeritatumin fine cujufque temporis acquisitarum ,.

Quum enim ostensum fit propositione antecedenti spatia a b,b e 3 eg,gk, quotcunque fuerint, aequalibus temporibus a ca-dente peracta, crescere aequali excessu, qui excessus sit ipsi b daequalis; Patet nunc, quoniam b d est dupla a b , spatium b efore triplum ab;eg quintuplum ejusdem a b • g k septuplum;aliaque deinceps auctum iri fecundum progrestionem numero-rum imparium ab unitate, i, z, 5, 7, y, Lcc. cumque quotlibetsiorum numerorum, sese consequentium , summa faciat quadra-tum, cujus latus est ipsaadsumptorum numerorum multitudo (ve-lut si tres primi addantur, facient novem, si quatuor sexdecim)sequitur siinc spatia, ä gravi cadente transmissa, quorumutrum-que a principio casus inchoetur, esse inter se in ratione duplicatatemporum quibus casus duravit, si nempe tempora commensu-rabilia sumantur.

Facile autem & ad tempora incommensurabilia demonstratioextendetur. Sint enim tempora hujusmodi, quorum inter se ratioea quX linearum ab,cd. spatiaque temporibus siis transmistasint e , & F, utraque nimirym ab initio defcenfiis adfiimpta. Dicoesse, ut quadratum a b ad quadratum c d, ita spatium e ad f.

Si enim negetur; habeat primo, si potest, spatium e ad f majo-rem rationem quam quadratum a b ad quadratum c d , nempeeam quam quadratum a b ad quadratum c g, fumta c g minorequam c d & a c d auferatur pars d h, minor quam d g exces-sus c D supra c g , atque ita ut reliqua h c commensurabilis sitipsi a b ; hoc enim fieri posse constat. Erit ergo c h major quamc g. Atqui ut quadratum temporis a b ad quadratum temporis cH, ita spatium e , quod tempore a b peractum est ad spatiumperactum tempore c H, per superius ostensa. Hoc vero spatiowajus est illud quod tempore G d percurritur, nempe spatium f.ergo spatii e ad spatium f minor est ratio quam quadrati a b adquadratum c H. Sicut autem spatium e ad f , ita ponebatur effequadratum a b ad quadratum c G ; ergo minor quoque erit ra-

D