PRINCIPIA MATHEMATICA. 107
irreducibilibus. Nam si aequatio, perquam curva definitur, ad in- Li»b»feriorem potestatem reduci postit: curva non erit unica, sed ex Primusduabus vel pluribus composita, quarum intersectiones per calculosdiversos seorsim inveniri possunt. Ad eundem modum intersectio-nes binae rectarum & sectionum conicarum prodeunt semper peraequationes duarum dimensionum , ternae rectarum & curvarumirreducibilium tertiae potestatis per aequationes trium, quaternae re-ctarum & curvarum irreducibilium quartae potestatis per aequationesdimensionum quatuor, & sic in infinitum. Ergo rectae & spiralis in-tersectiones numero infinitae, cum curva haec sit simplex & in curvasplures irreducibilis, requirunt aequationes numero dimensionum &radicum infinitas, quibus intersectiones omnes possunt simul exhi-beri. Est enim eadem omnium lex & idem calculus. Nam si a poloin rectam illam secantem demittatur perpendiculum, & perpendicu-lum illud una cum secante revolvatur circa polum, intersectionesspiralis transibunt in se mutuo, quaeque prima erat seu proxima, postunam revolutionem secunda erit, post duas tertia, & sic deinceps:nec interea mutabitur aequatio nisi pro mutata magnitudine quanti-tatum per quas positio secantis determinatur. Unde cum quanti-tates illae post singulas revolutiones redeunt ad magnitudines pri-mas, aequatio redibit ad formam primam, ideoque una eademqueexhibebit intersectiones omnes, & propterea radices habebit numeroinfinitas, quibus omnes exhiberi possunt. Nequit ergo intersectiorectae & spiralis per aequationem finitam generaliter inveniri, & id-circo nulla extat ovalis cujus area, rectis imperatis abscissa, possitper talem aequationem generaliter exhiberi.
Eodem argumento, si intervallum poli & puncti, quo spiralis de-scribitur, capiatur Ovalis perimetro abscissae proportionale, probaripotest quod longitudo perimetri nequit per finitam aequationem ge-neraliter exhiberi. De ovalibus autem hic loquor quae non tangun-tur a figuris conjugatis in infinitum pergentibus.
Corollarium.
Hinc area ellipseos, quae radio ab umbilico ad corpus mobile du-cto describitur, non prodit ex dato tempore, per aequationem fini-tam ; & propterea per descriptionem curvarum geometrice rationa-lium determinari nequit. Curvas geometrice rationales appello qua-
P % rum