«5
Euclidis Element. 1.
/
ii. Etsii« duas sectas lineas altera recta incidens,internos, ad easdemque partes angulos duobusrectis minores laciat; duae illae recta: linea: ininfinitum productae (ibi mutuo incident ad easpartes, ubi sunt anguli duobusrectis minores.Explicabitur ad Propofit. 28. fine cjtta non potestsufficienter tntelhgi.
11. Duae rectae linea: spatium non comprehendunt.Quacunqueenim modo fibt occurrant ex una par-te,se junlla manent ex altera-,unde ut spatium com -prehendant , adjungenda necessario est ad mini-mum tertia quadam linea,
Jitcfinit Euclides Axiomata [ua. Qua sequuntur,ad-jecit Clavius , e?* ahf , idque bene, quoniam m se-quentibus subinde ut axiomata supponuntur, alio-quin demonflrationes claudicarent.
13. Duae line* recta: non habent unum & idem se-
gmentum commune. Sic fi AH C, & 'D B, re-tiafiunt linea.figmentum B C non potett este com-mune utrique, quia fiD *9
B producatur in direclu ^
d puntlo ‘B, non pergit ^—ad C, sed ad E, a/ioqumlinea retia non esset.
14. Dux rectae in uno puncto concurrentes,si pro-ducantur ambae,necessario le mutuo in co pun-cto intersecabunt. Sequitur ex jam ditiis.
J5. Si punctum (it m duabus rectis, erit aut in ea-rum interfectione, autin contactu. Sequitur exnatura lineet retia, est ex ditiis.
16. Si duo puncta sint in eodem plano, etiam rectaipsa conncctens est in eodem plano. Sequiturtx natura linea rellei , qua etl via brevissima dpuntlo adpuntlum.
17. Si squalibus insqualia adijeiantur, erit toto-rum excessus, adjunctorum excessui squalis,
18. Si inxqualibus rqualia adjungantur, erit toto-rum excessus, excessui eorum qus a principioerant, squalis.
19. Si ab squalibus insqualiademantur, entresi-duorum excessus. excestui ablatotmn squalis.
20. Si ab in* qualibus squali a demantur, erit resi-duorum excessus excessui totorum squalis.
21. Omne totum squale est omnibus (ilis partibussimul sumptis,
IZ. Si totum totius est duplum , & ablatum ablati;erit & reliquum reliqui duplum.
23. Si singuls partes alicujus magnitudinis sint du-pls totidem singularii partium alterius magni-tudinis; prima magnitudo erit dupla sccunds.
24. Magnitudo qus altera magnitudine nec majorest, nec minor, est ipsi squalis.
25. Circuli ex eodem, aut squalibus intervallis de-scripti, squales siint. '
26. Circuli ex diversis ejusdem intervalli extremistanquam centris descripti, intersecat se mutub.ZJmus emm peripherta tranfit necessario per cen-trum alterius.
27. Quod est majus majori, est etiam minori qua*titate, si hx inter se comparentur.
PROPOSITIONES.
^rtpofitto-nes MriP rt miEle-m, ntorumfyclidit,
L Egatur Prolegomenum 4 . 5 . & 6 . Prio-res aliquot propositiones paulo fusus acdiflintfiusproponam ac demon strabo,ingratiam Tyronum, in reliquis brevior ero*
Propositio I. Problema.
Super data refla Imea terminata tri-angulum cequdaterum
It data recta linea terminata A B, super qua o Trianguliporteat constituere triangulum xquilatcrmn, squilaterücujus unum latus sit linea data. Centro A, Ulter construerevallo A B, describatur circulus C B Y),<per 3. at *
Rursus centro B, intervallo 9°
eodem B A , describatur cir-culus C A D, secans prioreminpunctisC & D ,per zts.Ax.ex quorum utrovis puncto.nempecx C, ducanturrectsC A, C B, ad puncta A & B,per 1. Pet. D ico, triangulum ABC, constitutumsuper recta A B ,csle xquilatcrum. Quoniam enimrects A B. A C, sunt duct* cx centro A ad circum-ferentiam circuli C B D; erit recta A C a qualis re-cts Ab, per is- Des. Rursus quoniam rect- ß A»
B C, sunt ductx cx centro B ad circumferentiamcirculi C A D ; erit iecta B C squalis rects B A.
Cum igitur tam recta A C, quam recta B C, a qua-lis sit uni & eidem recta A B;erunt & inter fc aqua-les, per /. Ax. ac proinde omnia tria latera erunt in-ter le squ alia. Ergo triangulum A C B & aquila-terum est, per 23. Deß. öriuper data recta AB con-stitutum; quod erat faciendum.
Posset hac demonstratio, st quaihs aha,proponi ittforma syllogistica , quam tamen Aiathcmatu », brevi-tatis causa , neghgunt. In praxi sufficit describere su-pra AB , ex centris AstB, intervallo ejusdem Aduos arcus intersecantes fein fi, & ex puntlo tnterse-tlioms fi ducere retias CA,CB, modo ditio Ub. t.cap,
4 art. 2. praxi 0. ubi etiam docuimus , quo modo superdata retia fit constituendum triangulum isosceles, stscalenum.
Propositio 11. Problema. ,tAd datum punflum , data refice lineceaqualem reSlam lineam ponere.
It datum punctum A,& data recta linea B C.cui Lineam 41 -aliam rectam lineam squalem ponere oporteat ter. squa-ad punctum A.Facto alterutro extremo lines B C, lempomrenempe C, centro, delcribatur 91 udpunäutn
intervallo C B circulus B E, per3 Pet. & cx A, ad centrum C;ducatur recta A C ,per /. Pet. &super A C construatur triangu-lumxquilatcrum A C D, per 1.hujus, sive sursum, sive deorsum.
Deinde duolateramodo constituta,D A,D C,ver-sus rectam A C extendantur in directum ,per2. Pet.
D C quidem usque ad circumferentiam in E, DAvero quantum libet in F. Demum centro D Inter-vallo D E, describatur alter circulus E G per?. Pen,secans rectam D F productam in G. DicO,rectamA G,qus polita est ad punctum A datum .a qualemeste datx rects B c. Quoniam enim DE, DG,du-ctxfuntcx centro D ad circumferentiam E G ; erütinter fc squales, per /p. Des. ablatis igitur D A, D C,squalibus lateribus trianguli xquilateri C D A, re-manebit recta A G squalis rects CE , per 3. Axi.icd eidem C E squalis est recta b c,per ip‘Def. Igi-tur rects a c, B c, squales sunt inter se, peri. Axi,
Ad datum igitur punctum, datx rects lines xqua-lcmrcctam lineam poiuimusjquod erat faciendum.
F $ Stpm-
consruere.