Euch Elem. 1.

jpsi F B,ut probatum fuit, & B D ipsi C F ,per 3. Ax.(quoniam enim rectx A D, A F, squales sunt exconstructione, & AB, A C, etiam squales ex sup-positione ; ideo si hs auferantur ex illis , remanentBD, CF,squales, perdicium3. Axiom.) sunt au-tem & anguli D & F contenti dictis lateribussqualibus squales, ut ostensum etiam fuit; eritquoque,per 4 hujus, angulus D B C squalis angu-lo F C B;& angulus BC D angulo C B F; tam enimpriores duo, quam posteriores, squalibus oppo-nuntur lateribus Jam sic. Anguli A B F, ACD.luntsquales,ut probatum fuit; item anguli FB C,D CBsunt squales,ut etiam probatum fuit;si ergo hi aufe-rantur ab illis, remanebunt angui A B C, A C B,supra basim C B squales, per 3 Ax. Iterum, anguliD B C,FCB, qui iunt infra basim BC, sunt squa-les,ut etiam probatum fuit. Isoscelium ergo trian-gulorum,&c:quod erat demonstrandum.

'Potest hac Propositio demonftran etiam ( si fortas-sis magts ad captum Tjronum ) per superpositionem,simtelltgatur triangulum AB C bis positum, fidsituconverso a c b. Quoniam entmin duobus triangulis,AB C, acb, ex hypotsiesi 96

latus AB aquale esi lateriac, (si latus AC lateri ab,

si angulus A angulo dr, sim p / \r </..;J,

ditio situ mtelligantur fibt jmutuo superponi, congruent fosingula latera ßngulis lateri-bus , si singuli anguli singulis angulis, per 8. Axio.ac proinde angulus A'BC aqualis erit angulo acb,hoc e fi,an gulo A C Bqui sunt anguli supra basim. £tst in utroep triangulo producantur aqualiter latera ujfyad DF, si(d; etiam hac stbt mutuo congruent, acproinde si anguli infra basim , nempe angulus DBC,angulo fc b, hoc esi,angulo FCB.

Corollaria.

■Äquilate- f^Olligitur i.etiamintriangulo&qnilatero angulosguhm'Vt" ^-^ß t P ra sitnfra basim, filateraproducantur, e [se* quiane aquales. Jl. Omne triangulum aquilaterumesieetiamhm, ° sequiangulum, hoc esi, habere omnes angulos inter Jeaquales, quoniamsiumptisquibuscunque duabus lineispro lateribus, si reliqua pro basi ,femper anguli Juprabasim aquales inter se erunt.

Propositio VI. Theorema.

Si trianguli duo anguli aquales inter ßfuerint , etiam latera aqualibusillis angulis subtensa,eruntaqualia .

I N triangulo AB C,sint duo anguli, A BC, ACB,xquales. Dico,duo latera illis opposita, AB, A Ceste quoque xqualia. Si enim non iuntsqualia,eritunum altero majus.Sit igitur A B majusyquam AC,si fieri potest; Scex AB majori abscindatur rectaD B, squalis minori rectx A C ,per$ hujus ; duca-turq;recta CD, & constituaturtriangulum D B C, intra triangu-lum ABC. Quoniam igitur duolatera A C,CB,trianguli ACB,xqualia sqnt duobus lateribusD.B,cBC,trianguli DBC, utrumque

6 j

srianguB“bensduos" n gulo$*l**le S> h*.7 * Aiam***0 latent

iPfisoppasitM

*l«*lta.

utrique,nempe A C ipsi D B, ex adversarii conces-sione Lcconstructione; & C B ipsi B C, cum sintunum & idem: quoniam prxterea anguli ACB,

D B C,contenti dictis squalibus lateribus,squalessunt , ex hypothesi ; Erunt , per 4. hujus, triangulaA C B, D B C,xqualia inter fc,totum & pars; quodest impossibile, & contra 9. Ax. Non igitur in-xqualiacruntlatcra A B, A C, si anguli B & ACB,super latus BC, squales sunt, sed xqualia existent.

Quare si trianguli duo anguli, 6 iC. quod erat de-monstrandum.

Corollarium.

O Mne ergo triangulum aquiangu/um, esi etiam jtquian-aquilaterum, ut considerantipatet. gulum tri*

Hac Propositio convertit primampartem Prcposi-tionts quinuprscedentis ; si hoc Corollarium esi con X q U1 ] atc .versum Corol/ariiejujdem quinta Propositionis. rU m.

Propositio VII. Theorema.

Super eadem reflasuabus eisdem re siishneü alia du a refla linea aquales>utra-que utrique , non poßunt constttui ad aliudatque aliud punctum , ad eajdem partes, eofidem que terminos cum dua hus initioconflit ut is restis lineishabentes.

D Emonstratio hujus Propositionis,prout d Theone Propositiosi aliis ex Euclide proponitur , difficilis esi Tyro- 7-lib.iEu-mbus,propter multos casus quos admittit, si multipli- nul-

ceslinearumdutius ; nullumc^habet m hu Element u , * flf c

imo in tota Geometria usum,m[i ad demonstrandam Geometriaoilavam sequentem Propositionem : qua tamen cum nisi in or-ahter, si facihus demonstrari pojsit mdependenter d ^‘ ne a< lditia septima, solius quinta antecedentis ope ; 'merito oriavam.omitti potest.

Propositio VIII. Theorema.

Si duo triangula duo latera habuerintduobus lateribus , utrumque utrique ,aqualia , habuerint vero & bafim baß aqua-lem ; angulum quoqsub aqualibus r esi islineis contentum angulo aqua-lem habebunt.

S int duo triangula, ABC, D BC(utini.8ai.fig.) jy ut tr ; an .

sintq; trianguli A B Cduo latera A B , AC,gula, quaxqualia duobus trianguli J "~ '

DBC lateribus D B,DC,utrumq; utriq;,nempe AB . ,

ipsi D B, & A C ipsi DC; l —sit autem &baiis B C unius,basi B C alterius squalis.

Dico,angulum A squalem

este angulo D.Intclligan- - » tos aqualis,

tur enim dicta duo triangula conjuncta ad commu-nem basim BC, ita ut cadant in diversas partes (utpatet in z. 4. & f. sig. ) & latera xqualia lintetiamcontermina, nempe latus A B conterminum laterisDB, & latus AC lateri DCjducaturq; recta AÖ )apunctis A& D. Velhsclinea ADcoinciditcunj ^

lateri-

duo lateraaqualia ha-tte, utrum-que utri/f,C si basesaquales,ha-bent etiamangulos ba-sibus oppofi-