68

Liber Hl Geometria Element.

lateribus A C, C D,ut 1n3.fig.vel cadit intra illalatera,ut in 4.6g. vel extra, ut in 5. fig Si primum;ergo anguli A&D super basin AD sunt squales,per f.hujus , quandoquidem latera AB, I) B,suntsqualia ex suppositione.Si secundum; ergo proptersqualitatem laterum AB»DB,anguliBAD,BDA,sunt Squales, per eandem j hujus ; & propter squa-litatem laterum A C, D C,anguli quoque C A D,G D A,sunt squales, etiam per s hujus ; ac proindeper 2. ^s.totus B AC,est squalis toti angulo B D C.Si tertium; ergo ut antea propter squalitatem late-rum B A, BD, totus angulus B AD est squalis totiangulo B D A;& propter squalitatem laterum A C,DC, partialis angulus C AI) est squalis partialiangulo C D A ; ii ergo hi duo partiales auferan-tur ab illis totalibus , remanebit angulus B A CaqualisanguloBDC,jw Si ergo duo trian-

gula, &c.quod demonstrare oportuit.

Corollarium.

C OlUgitur hinc,etiam relicjuos angulos ejfe aquales'reliquis angulis,utrumque utrique, qm videlicetaqualibus lateribus opponuntur ; atque adeo totumtriangulum toti triangulo, per 4.primi hujus.

Propositio IX. Problema.

Datum angulum reUilinmm bifariamsecare .

're > ^il!neutn dividendus angulus rectilineus B A C bifa-l 3 riam,hoc est,in duos angulos squales. Ex rectisAB, AC,abscindantur squales A D, A E, per3.hujus-, ducaturq; recta D E ,pert.

Pet. Deinde super DE constitua-tur,per 1.hujus, triangulüsquila-terum D F E, & ducatur rectaA F,dividens angulum B A C induos angulos , BAF, CAF.

Dico, hos angulos este inter se Vsquales. Nam latera D A, A F,trianguli D AF, «qualia sunt lateribus E A, A F,trianguli E A F,utrumq; utriq;, quod DA ipsi E Aper constructionem, Iit squale, & A F communeutriq; triangulo; est autem & basis D F basi E FSqualis, utpote latera trianguli squilateri; Ergo,per 8.hujus, angulus D A F squalis est angulo E AF,idcoq; angulus B AC divisus est bifariam; quoderat faciendum.

‘Potest super D E construi triangulum isosceles,loco aquilaten. In praxifufstcii notare circino ex Avelut centro duo punßa D cr E,&ex his duos arcusversus F intersecantes sefe,&exAad Fducererellam.Quod fi arcus nonpojfmt fieri infra D E, ob dtfeßumfpatü-, fiant supra. Hinc autem constat, quomodo an-gulusrethUneus quilibet dividi poffit in partes 4,8,16,32,df alias deinceps,per continuam bisecationemprst -cedentium angulorum. ^Atinquothbetpartesstqualesdtvtdi debet tentando per circinum.

Propositio X. Problema,

Datam reSiam irneam finitam bifariamsecare.

^iamficare C^ re & a finitaDE,dividendabifariam. Dcscri-bifariam , ijbatur superD E, per 1.hujus , triangulum arqui-

laterum D A E, cujus angulus D AE »peryhujusidividatur bifariam per rectam AF,qus rectam DEsecet ini. Dico,rectam D E bifariameste divisam in I.Nam duo latera DA,

AI, trianguli D AI» «qualia suntduobus lateribus E A, A 1 , trianguliE A I;utrumque utrique (quia D A , ^

E A ,sunt latera trianguli squilateri,

& AI est commune;) est autem &angulus D AI,angulo E AI squalis,per constructionem ; Ergo & basis DI basi EIsqualis ell,pcr 4 pnmi. Datam ergo rectam sinitamsecuimus bifariamjquod facere oportebat.

Quomodo in praxi procedendum fit, docuimus inlib.t.cap,4.artj .praxt 7,&m vAnnotatiombus,

Propositio XdfrProblema.

Data refla, linea, a punSloin ea dato ,re fiam Imeam ad angulos re-flos excitare.

R Ecta linea data sit A B, &in capunctumC, a 1,

quo sit erigenda super A B linea ad angulos, perpendicu-rectos, leu perpendicularis. A puncto C sumantur larem exci-tare alteriadpunßum■ datum ,

/T

B

bifariamsecare ,

NB. De-sunt rectx

hinc & inde squales G D,C E ,per^.hujus;8c super D F, B F,D E constituatur triangulum squilaterum D FE,peri.hujus; atque ex Fad C ducatur linea recta F C,

Dico, hanc este ad A B perpendicularem. Nam la-tera D C,C F,trianguli D C F.xqualia sunt lateri-bus E C,C F,trianguli E C F,utrumque utrique,exconstructione facta; & basis D F est squalis basiE F, quia sunt latera trianguli squilateri: ergo an-guli deinceps ad C, contenti dictis lateribus, suntsquales ,perShujus: Ergouterq;est rectus,perDefi. atque adeo recta F C ad rectam A B perpendi-cularis est, excitata a puncto dato; quod faciendumerat.

Plures praxes idem faciendi tradidimus in lib.t.cap.4.art,s.praxi 4. Q J in tAnnotaiiontbus & Co-rollariis.

Propositio XJI. Problema.

Super datam reUam Imeam infinitam,d dato punSlo quod in ea non efl,perpendicularem reSlamducere.

IOI

S it recta AB, interminats quantitatis, vel q tineam

saltem prolongari in infinitum 'utriinq; postit ‘,perpendicu

&extraipsam sit punctum 0,a quo oporteat ducere lineamperpendicularem ad rectamA B. Centro C , intervallocompetente, describatur cir-culus secans A B, in D & E,

(ideo enim requiritur inter-vallum

larem exci-tare alteria punftoextra date,