Euclidis Element. 1.

vallum competens, ut secetur recta AB;) divisäq;rectä D E bifariam in ]c,perio.pnmi, ducatur rectaC E.Erit ea perpendicularis.Nam li ducantur C D,C E, erunt duo latera D F, F C, a-’qualia duobus la-teribus E F, F C, utrumque utrique, per constru-ctionem ; bafisq; C D squalis basi C E,per if.Def.Ergo, per S.pn. angulus D FC, squalis erit anguloE F C,ideoq;uterq; rectus per to.Def.

Quomodo in praxi procedendum Jit,docuimus hb.i .cap.4.. art.i.praxi 6.&in Annotationibus.

PropositioXIII. Theorema.

69

rationem, quia sequeretur angulos A C D, A C E,este squales angulis A C D, A C G.

Hac e Ü conversa pracedenris, ut consideranti pa-tet. Quidst, jacere in direBum,& qui dicantur angulideinceps,explicavimus lib.t.c.3.art,2.num.i.Q^r to.

Propositio X V, Theorema.

Si dux reti* Imece fi mutue ficuermt,angulos adnjerticem oppositosefficient interfi ecqua-les.

Cum reBa linea super reBam confiflenslineam angulos facit } aut duos reBos,aut duos reBis aqualesefficit.

Linea rea » X T Am si A B consistens super C D. insistat ipsimfistens al. > perpendiculariter,facit angulos A B C, ABD,hinc inde ummt F tequales,keoniequenter rectos,per / o.Def.duos angu- Si voro E B, consistens super C D, insistat ipsi obii*l°s aquales que, & neutrum angulum faciat rectum, sed E B Cobtusum > E B D acutum; excitetur perpendicula-ris B A ,per n.prt.&c fiant duo recti, AB C, A B D.Quoniam igitur tam duo rectijam dicti,quam duo non recti A

antea dicti, squales sunt tri-bus angulis C B A, A B E,

E B D ; sequitur duos non £~

duobus

reftis.

io«.

L

~t> CB 2

rectos EB C, EB D,cstc squales duobus rectisA B C, A B D.peri.Ax.

Propositio XIV. Theorema.

Si ad aliquam reBam lineam , atque adidem ejuspunBum s dua reBa linea nonad easdem partes duBa, eos , quisunt deine eps ,angulos duo bm reBis aquales fecerint,indireBum erunt inter Je ipsereBa linea.

linu dus. A T) punctum C, lines recti A B, in diversasr eatadali- xJLpartes cducts sint du a recti, ( D,CE,facicn-fif fidi. tes cum A B,duos angulos A C D, A C E,vel rectos,duftfst vc ^ ^"obus rectis squales. Dico, ipsis C D, C E,friant duos odo inter sc constitutas in directum, itautconsti-*»gnlos tuant unam lineam rectam D C E. Si enim D C E

fiuaUs non ost recta , sensi D c, EC, 10;

non sunt in directum constitu- ^

flum/fs ts; ergo recta D C producta \fofuti' nitra C in directum & conti- \

nimm, cadet aut supra C E , uti) -— E

sit recta D CE; aut infra C E, V\

ut sit recta D C G. Si cadit su- X D

pra,&D C F constituit unam rectam lineam; cumAC consistat super rectam D C F, fient duo angu-li A C D, A C F, duobus rectis squales, per iq.pri.sunt autem ex hypothesi etiam duo anguli AC D,A C E,squales duobus rectis ; Erunt ergo prioresduo ACD, A CF,posterioribus duobus A CD.As - E, squales, pars toti; quod est impostibile, &contra Non igitur recta D C producta caditiupra C E. Neque etiam infra eadit, propter similem

S Ecent sc dui recti A B, C D,in puncto E ut- An i uli °P'cunque. Dico, angulos ad verticem E opposi- t 0 i maiitos.dk inter sc squales, nimirum angulum A E D ffflfua-angulo C E B, & angulum A E C angulo D E B. l es inter fi rNam duo anguli, A E D.D E B. sunt a quales duo-bus rectis, per/3.pn. item duo 104

anguli,DE B, B EC, siint duobus A „D

rectis squales, per eandem 13.pn.

Cum ergo omnes recti sint intersc squales, per to. Ax. erunt duoanguli A E D, D E B, duobus an-gulis DE B,BEC,squalcs;acpro Nl

inde dempto communi angulo D EB, remanebitangulus A E D squalis angulo B EC . per q.Ax.

Eadem ratione probatur,angulum A E C squalem

este angulo D E B,

Corollaria.

C Olligitur hinc 1 , duas lineas reBos se mutuosecan-tes ejjicer e ad punBum feBtotus quatuor angulosaquales quatuor reBis. 1 1 Omnes angulos circa idempunBum consitntos, quot cunque fuerint ,smulsum-ptos, tantum quatuor reitu aquales ejfe .

Propositio XVI. Theorema.

Cujufiunque trianguli uno latere pro-duBo, externus angulus utrolibetinterno & oppofito y majorcB.

interno g»opposito tri-anguli.

T Rianguti ABC latus B A producatur ad D, A ngulusut fiat angulus externus DA C. Dico,luinc externuseste majorem tam interno & opposito AC B,q am mamr tflinterno & opposito ABC. Dividatur enim latus utrolibetAC bifariam in E,per to.pri.

& ex B per E extendatur re-cta B E F, donec E F sit s-qualis rects E B; ducaturq;^.recta F A. Quoiriam igiturduo latera C E, EB, trian-guli CE B, squalia siintduobus lateribus A E,E F,trianguli AEF,utrumq;utriq;,pcrcpnstructionem;& anguli A EF,BEC,comprehensi dictis lateribus scntsqualcs.pcr tj.pri.Ent.per 4 -pn -basis C B squalis basi A F; & an-gulus E CB squalis angulo E A F.Ciun igitur ex-ternus angulus D A C, major sit q iaih angulusE A E,per g. Ax. erit etiam major quam angulus in-ternus & oppositus A CB. Quöd autem iit etiammajor angulo A B C,sic demonstro. Producaturlatus C Ä adG, & dividatur latus ß A bifariam

inH,