Eucüdis Element. 1.Propositio XLVI. Problema,

77

Quadratudescriberesuper da-lumrcRam.

Super datam reSiam lineam quadratum

describere.

S it describendum quadratum super datam A B.

Erigantur ,per i/.prt.dux perpendiculares AI),

13 C, squales ipsi A B, & conncctatur recta D C,qus& ip ü,per ff.pri. aequalis & parallela erit ipsiAB, & angulis rectis A & B,erunt, per 132

§ 4 .prt. sq u ales oppositi C & D, Se con- D_ ^sequenter figura A B C D critsquilate- rra & rectangula»id est, quadratum, perZg.Defin.

Praxm idem efficiendi, dedimus hb.t. A■cap. 4 .art. 2.praxi.io.

Propositio XL VII.Theorema,

In reB angulis triangulis , quadratumquod d latere reffium angulum subten-dente describitur , aquale est eis, qua d lateri -bus retium angulurn continenta-hui describuntur*

I Ntriangulo A B C,angulus B A C sitrcctus.de-scribanturquc ,per 46.pri. super A 13 , A C, B C,quadrata A B F G, A C HI, B C D E. Dici), qua-dratum B C DE, descriptum super latus B C,quodangulo recto opponitur,aequale elfe duobus qua-dratis ABEO, AC HI,qus super alia duo latera fsunt descripta,sive hxc duolatera aequalia sint,sive inae-qualia. Ducatur enim, per31.pri .recta AK , parallelaipli B E,vel ipsi C D,secansB C in L, Lc jungantur recte A D, A E, C F, B H.Et quia duo anguli B A C, & B A G, sunt recti;erunt recta: G A, A C, una linea recta, per i4.pri.Eodcmq; modo I A, A B, una recta linea erunt.Rursus, quia anguli A B F, C B E, sunt squales,cum sintrecti; si addatur communis angulus ABC,si et per 2. Axiom. totus angulus C B F, toti anguloA B E squalis. Siinilitcrq; totus angulus B C H,toti angulo A C D. Quoniam igitur latera A B,B E,trianguli A B E, squalia sunt lateribus FB.BC,trianguli F B C, utrumq; utrique, ut conflat ex de-finitione quadrati; sunt autem &. anguli A B E,F B C, contenti hisce lateribus squales, ut osten-dimus ; Erunt triangula A B E.F BC,squalia,per 4.prt . Est autem quadratum seu parallelogrammumA B F G,duplum trianguli F B C, per 41.prt .cumsint inter parallelas B F, C G,& super eandem ballnB F; Et parallelogrammum B E K L, duplum trian-guli A B E, quod sint inter parallelas B E, A K, &super eandem balln B E. Quare squalia erunt ,per6. Axi. quadratum A B F G, & parallelogrammumB E K L. Eadem ratione ostendetur, squalia essequadratum A C HI, & parallelogrammum C DK L: erunt enim rursus triangula A C D, H C B,aequalia,idcoq; & eorum dupla,parallelogrammum

videlicet C D K L,& quadratum A C HI. Quam-obrem totum quadratum C B D E, quod compo-nitur ex duobusparallclogramis B E K L,CDKL>squale est duobus quadratis ABFG, ACHI. Iarectiangulis-ergo triangulis, quadratum, &c. quoddemonstrandum erat.

Summi momenti & frequentiffimi usas e§t in tot aMathesi hac propofitio ; ideobcneinTc fligenda. Et quo-niam nemo ordinatius eam demonstrat quam Clavim»ejus fere verba annumeravi.

Propositio XLVIII.Theorema.

Si quadratum quod ab uno laterum tri-anguli desribitur , aquale efl eis quad reliquis trianguli lateribus describuntur iangulus comprehensus sub reli-quis duobus lateribus,rettus est.

I N triangulo ABC, quadratum lateris AC sit pythagori-squale quadratis reliquorum laterum B A,BC. capropofi-Dico,angulum ABC elfe rectum. Erigatur enimex puncto B,super B A, perpcndicu- 134

laris B D, & squalis rectx B C, con-nectaturq; recta D A;crit,ptr 47.pri.quadratum A D squale quadratisAB,B Dstiocest,quadratis AB,B C;atque ad e 6 quadrato AC; & ideo ^

A D erit squalis ipsi AC : & quiaduo latera, A B,B D.sunt squalia duobus lateribusA B,B Cjerit ,per angulus A B D, squalis an-gulo A B L,ac proinde ut ille,ita hic rectus.

EUCLIDIS ELE-

mentum SECUNDUM.

I N hoc agit Euclides de potentiis linearumreflaram,inquirendo quantasint quadra-ta partium cujufuis linea refla divisit >parallelogramma reflangula sub partibusejusdem linea divisa comprehenfi. Brevisquidemsdutilissimus est Uber ♦ Pramittun-tur dua

DEFINITIONES.

O Mnc parallelogrammum rectangulum con-tineri dicitur ful> rectis duabus lineis, quxrectum comprehendunt angulum. ‘Duo tantumsunt parallelogramma reflangula, quadratum, & al-tera parte longius . Vtrumq ? definivimus lib t.cap. j.a,4.nJ. Utrumq^ c ontineri dicitur sub duabus iineteangulum reflum efficientibus,’v.g. sub'lineis D cAB,& A D,conftitucntibus angulum re- ~—ftum D A'B, quia illis Itneis & anqulo refloadfignatis, sufficienter adfignatur tota lon- _____girudo pardl/elogrammi : unde ori - a b

n dicitur ex duilu unius hmufinedi linearum *»aliam.

i

II. In