V

gg Liber 111 . Cjeometria Siemens.

propositio XXIX. Theorema.

In aqualibus circulis , aquales periphe-nas, aquales refla Ime a sub-tendunt.

Q Uia in i jfdem circulis, per 27. hujus , etiam an-gulus G erit squalis angulo H,si peripheria AC sitsqualis peripheria: D F, &, per 4. pri. basis AC squalis basi D F, propter quatuor semidiametrossquales.

Propositio XXX. Problema.

'Datam penpheriam ßcare bifariam.

P 1

datur A C, caque secetur bifariam in D» & cri-

Eriphcria ABCsit bifariam secanda. Subten-mm datam J ~ ' ~

^'^'^turperpendicularis d b. Dico, peripheriamesse

in Bsectam squaliter. Namdu-ctis B a , b c, duo latera a n, DBjfuntsqualiaduobus cd,d b,

& anguli ad 0 squales, quia re-cti ; ergo per 4. pri. bases a b , cB, squales; ergo per 28 hujus,etiam peripheris a b, c b squales sunt.

Propositio XXXI. Theorema.

In circulo angulus qui in fimicirculo, re-flas efl: qui autem in majore segmentoquamsemicirculus , minor reBo ; qui vero inminore segmento , major reBo. Et insuper an -gulus majoris figmenti resto quidem majorest i minoris autemfigmenti angulusm inor e fl reBo.

C irculi diameter sit a d c , constituaturquc inlemicirculo angulus a b c,existctque angulusbac in majore segmento cab. Constituaturquoque in c e b minori se-gmento angulus b e c. Dicoprimo, angulum a b c in se-micirculo, este rcctiftn. Namtectso a, 0 b, sunt squales, Cjper is. De fi. pri, ergo anguli dA b, D b a , squales sunt, perS.pri. Itcmrectsn b,dc,x- /

quales sunt, & anguli 0 B c, d c b , squales, pro-mpter eandem causam. Jam sic. Angulus a ob, prr20. hujus, duplus est anguli 0 b c; 8 cangulus, c 0 b,per 31. pri. duplus est anguli 0 b a ; ergo duo anguliad o, iunt duplum duorum angulorum ob a , c b 0.fer23.j4xi.prt. Sed duo anguli ad 0, squales si>Mduobus rectis, per 13.pri. ergo alij duo o b a,d b c,squales sunt uni recto. Dico fecundo, in majori se-gmento cab. angulum bac elfe acutum. Namtrianguli a b c duo anguli a b c, b a c , sunt duo-bus rectis minores, per 17. pri. quia ergo prior estrectus, erit alter acutus. Dico tertio, angulum b ecin minori segmento b e c , este obtusum. Nam inquadrilatero a B E c, oppositi anguli e & a, sunt s-quales duobus rectis, per 22. hujus ; cum ergo A sitacutus, ut fuit ostensum,erit E obtusus. Dieo^r-to, angulum mixtum a b c, ex arcu a b 8 c recta B c»

qui est angulus majoris segmenti, esse recto majo-rem , quia major est recto rectilineo A B C, ciimprster hunc includat angulum segmenti quod ab-scindit. Dico quinio, angulum C B E segmenti mi-noris, comprehenliim recta C B, & arcu C E B.esseminorem recto, quia est minor angulo CBF,quirectus est,per 13. pri.

Vtcc etiam versa figmentum circuli, in quo angu-lus constitutus est reElus, semicirculus eil. Et angulusreflus est adsemicirculum, hoc efl, st angulus ABC estreflus ,& ACfefla bifariam in D, describatur circaeam semicirculus-, ipse transibit per B.

Propositio XXXII. Theorema.

Si circulum tetigerit aliqua refla linea,d contaflu autem producatur quadamreBa linea circulum ficans ; anguli quos adcontingentem facit, aquales ßnt ijs, qui in al-ternis circuli figmentis confiflunt ,angulis . .

R Ecta A B tangat circulum inC, & C D seceteundem in C & D. Dico, angulo A C D x-quales esse angulos in alterno segmento DEL; &angulo B C D angulos in al-terno segmento C F D. Nam gsi C D non transit per centrum'

FI, transeat CHE; eruntqueper iS. hujus, E C A,E CB,re- öxcti, & ipsis erunt squales C GE, C D E. in alternis segmen-tis, hoc est, per pr&cedentem, insemicirculis quos ablcinditsc-midiameter C E. Deinde, quoniam C D E rectusest; erunt DEC.DCE, uni recto, nempe toti EC A squalcs,per^2.pr».demptoquecommuni DCE, reliquus D E Cin alterno segmento,squalis eritreliquo A CD , ad punctum contactus C. Deni-que, inquadrilatcro E D F C, anguli oppositi D FC, C E D, sunt, per 22, hujus, squales duobus re-ctis, hoc est, duobus D C A, D C B: sed D C A x-qualis est D E C;ergo reliquus D F C in alterno se-gmento,est squalis reliquo D C B, ad contactumC.

Propositio XXXIII. Problema.

Super data reBa linea definiere figme-tum circuli , quod capiat angulumaqualem dato angulo reBiltneo.

R Ecta data sit A B. Primo, quando angulus da- Seimntus est rectus, dividatur A B bifariam in I, & tum c ircentro I, intervallo IA, vel IBdelcribatur semicirculus, &ineo super A B constituatur an-gulusjqui, per 31, hujus, erit re-ctus. Secundo, quando angulusdatus est acutus, v. g. C ;tuncconstituaturipsi ad punctum Asqualis B A D,& ex A super AD erigatur perpendicularis AE, Lein puncto B fiatangulus A B F, squalis angulo B A E, eruntque FA, F B squales ,per 6. pri. & F centrum circuli A GB K; & angulus A G B in segmento A G B, critx-qualis angulo B AD, ad punctum contactus A ;nam propter rectum D AE, recta D A tangit cir-culut -typer i6,hujus ; Est autem B A D squalis an-

gulo

tum circulidescribere

C\W I u t' rdAt *

capiat an-gulum da-tum.

1