Euclidis Element . 111.

89

^ulo C; ergo etiam A G B est »qualis C. Tertio,quando angulus datus est obtusus, v. g. H; accipia-tur ejus loco acutus C: descripto enim segmento A'G B, habebitur reliquum AKB, & angulus K eritaequalis H, quia per 22. hupet , G & K äquivalentduobus rectis,hoc est, duobus C & H: sed C est ae-qualis G; ergo K est aequalis H.

‘Propositio XXXIV* ‘Problema.

*A dato cirmlo figmentum abscinderecapiens angulum aqualem datoangulo recidi neo.

i«7

Stgmtn. "TNA-tus circulus sit A B C, p-*»m a cir- JL 'St angulus datus D. Du-*ulo absein- catur tangens E A F, & angu-

dere,eapi- llls £ fiat «qualisD,Mrtnsanttt- , . 1 \

Ium dat um. P'pedentem ; entque angulus

A B C in alterno segmento Cß A , fer 32. hupet , squalisangulo E A C, hoc est, angulo I).

Tropofitio XXXV. Theorema.

£i in circulo duci refla Ime a fiß mutuosecuerint ; reSiangulum comprehensumJub figmentis unius, aquale efl ei, quodfubfigmentis alterius comprehen-ditur, reff angulo

I N circulo secent se mutuo recta: A B, C D, in E.

Dico, rcctangulum comprehensum sub segmen-tis A E, E B, squale esse rcctangulo comprehensosub segmentis CE, E D. Nam quando in-tersectio fit in centro,'omnia 188

tegmenta sunt Icmidiametri»quales, & rectangula sub se-gmentis sunt quadrata »qua-lia. Secundo , quando C Dtransit per centrum F,& secata b bifariam, atque adeo adangulos rectos in E, per 3. hu-stet, ut in prima figura ex tribus; tunc recta C D eritsecta bifariam inF,& non bifariam inE ,&per s-fec.rcctangulum C E D ( sive C E,E D) una cum qua-drato E F, erit squale quadrato F D > hoc est, qua-drato FF,& per ‘Tytbogortcamjcu per 4.7 .pn. qua-dratis BE, f F; ablatoquc communi EF, remanebitquadratum B E squale rcctangulo C E D: quadra-tum autem 2 ? Fest idem cum rcctangulo A€ B,quoniam AE,EB , aquales sunt; ergo rectangu-lum sub segmentis AE,EB, est »qualercctangulocontentolub segmentis C E, ED. Tertio, quandoC D transiens per centrum F, non secat bifariam AB in E, ut in secunda figura; secabitur bifariam in a-lio puncto G, & F(J erit ad ^^perpendicularis; &perj.fic. rcctangulum a e b , una cum quadrato eg, erit aquale quadrato« b 5 adj ectoque quadratoG F, erit idem rcctangulum A E B ,cum quadratis EG, G F, hoc est,cum quadrato E F „squale quadra-tis (j B, G F, hoc elf , quadrato FB: huic autem qua-drato F//, seu FE>, oltcndimusaqualecsicrcctan-gulum C E D,una cum quadrato E F; ablato igiturquadrato E F, remanebunt rectangula C E D, A EB, »qualia. Quarto , quando neutra transit percentrum F, ut in tertia figura; dico, nihilominus re-

ctangula a e b, c e n, »qualiaesse, quia utrumquedebet esse »quale rcctangulo GEH, percafut ante-cedentes, ducendo G E H per centrum F.

Tropositio XXXVI. Theorema.

St extra circulum ßmatur punSlum ali-quod, ab eoq { in circulum cadant dux reff x li-nex, quarum altera quidem circulum fecet, al-tera vero tangas, quod sub totasecante, (fi ex-terius inter punctum & convexam periphe -riam assumpta comprehenditur reff angulum ,aquale erit et, quoddt angente de-scribitur, quadrato.

E X puncto D, recta D B tangat circulum, & aliaD C A eum lecet: rcctangulum ADC,seu AD»D C, erit fcquale quadrato D B. Transeat enimp-f-mb recta D C A per centrum F. Quoniam igiturAC secta est bifariam in F, 189

ipfiquc addita C D; ideoprO.sec, rcctangulum A D C,cum quadrato F C, erit x-quale quadratoFD,hoc est,per 47-pri. quadratis DB,

B F: iunt autem F C, F B »-qualia ; ergo & reliqua, ni-mirum rcctangulum A D C, & quadratum D B,sunt »qualia. Secundo , recta D C A non transeatper centrum F, sed recta F E sit ad ipfampcrpcndi-cularis, atque adeo ,per3. hujus, secet ejus segmen-tum C A bifariam in E. Quare iterum, per 5. fec.rectangutüm A D C,cum quadrato E C, erit »qua-le quädfato*E D; adj ectoque quadrato E F, erit i-dein rcctangulum AD C, cum duobus quadratis EC, E F, hoc est, cum quadrato F C,»quale quadra-tis E D, E F, hoc est, quadrato F D: quadrato au-tem F D sunt »qualia quadrata D B, B F, & quadra-tum BFest »quale quadrato FC; ergo etiam reli-qua erunt »qualia, nempe rcctangulum A DC,&quadratum DB.

Cörollaria.

H inc'colligitur 1 . fidpunfto L D ducantur plurimaretia circulumficantes, rettanguLt sub totis , crJub segmentis inter punftum c fr convexam periphe-rnrm interceptis , e{fe 'aqualia , qttia omnia sum eidemquadrato tangentis aquqlia,

[oliigitur Jl. Duas tangentes ex eodempmfto du-ft as ad circulum, ejse aquales, quta earü quadrata sunteidem reftangulo, aut aqualibus reft angulis, aqualia.

Colligitur 111 , Exeodempunfto duas tantumducipojfe retias qua circulum tangam , quia quavis alikpr ater illas du fta, major esi, utperjptcuum eil.

Colligitur IV. Si duarefta aqualescircldo incidantex eodem punfto extra sumpto, & una tangat, etiamahamtangere.

Propositio XXXVII. Theorema.

Si extra circulumfumaturpunftum ali-quod, abeo% in circulum cadant dttxreffx li-nea, quarum altera, circulumfecet, altera, ineum incidat ; (it autem, quodsub totasecante*,(fi exterius interpnnffum (fi convexamperi-pheriam afiumpta,comprehenditur reffangu -lum, aquale ei quod ab incidente describitur »quadrato ; incidens ipsa circulumtangit ♦

H ; .stechn.