rig.u.

Icoü.A.

Ratio ex*$uo,

Ratio ex“quo ordi-nata.

Ratio exaquoper-*>*rb*ta.

f&Hl,

‘ c °n,A,

Eudidis Element. V.

95

tota D E ad F E,infertur, ergo m eadem Aliud AC, adeo quoties A continet E, vel quoties B continet

itaDEadD F. F,toties A Bsimul continet E F simul.

XVII.

Ex squalitate,/?« ex equo ratio est,si plures dua-bus sint magnitudines, & his alis multitudine pa-res,qux bins sumantur, & in eadem ratione ; cumut in primis magnitudinibus prima ad ultimam,sic & in secundis magnitudinibus prima adultimam fele habuerit. Vel aliter. Ex squalitateratio, est sumptio extremorum per subductionemmediorum. Idt quando ex eo quod ut esis A ad B,ita D ad E,&ut eslB ad Cata E\ ^ D£ F

ad F,infertur,ergo ut A ad C,tta\ - — -—

est D ad F, sumendo extremas , | AC, D F.

ty fubducendoseu omittendo medias. Hac duplex esi,ordinata,&perturbata.

XVIII.

Ordinata proportio ex squalitate est,cum fuerit,quemadmodum antecedens ad consequentem, itaantecedens ad consequentem ; fuerit etiam,ut consequens ad aliud quidpiam , ita conse-quens ad aliud quidpiam. Hoc esi , quando ordi-nate proceditur, <*r m utristf magnitudinibus idemordo tnproporttombus servatur,ut m pracedenti ex-emplo,ubi quia ut A adB,ita DadE,&utB ad C, itaE ad F, infertur, ergo ex aqualitate ordinata, ut A adC,itaDadF.

XIX.

Perturbata autem proportio est, cum tribus po-sitis magnitudinibus,& aliis qux sint his multitudi-ne pares, ut in primis quidem magnitudinibus se ha-|act antecedens ad consequentem, ita in secundismagnitudinibus antecedens ad consequentem. Utautem in primis magnitudinibus consequens ad ali-ud quidpiam, sic in secundis magnitudinibus aliudquidpiam ad antecedentem. Vt fi quando fuerit utAad'B, ita SadF,&utB adC,ita ‘D adE\infertur ;ergo ex squalitate perturbata ,ut A ad C, ita D ad F.

‘Differt ergo perturbata ab ordinata, non ratione pro-portionis extremorum,sed intermediorum.

PROPOSITIONES.

P Roximesequentes 25 propositiones sunt Euclidis, re-liquasunt ab alus addita-,quas quiapajfim Scripto-res antiqui cfirecentiores insuis demonftratiombus ad-hibent, adj icere placuit.

Propositio I. Theorema.

Si fuerint quotcunque magnitudinesquotcunque magnitudinum aqualiumnumero , singula singularum aque multiplices iquam multiplex esi unius una magnitudo >tam multiplices erunt (fi-omnesomnium.

U T sil int dux magnitudines, A & B, totidemmagnitudinum E&F, xque multiplices v.g.tripis; erui it etiam A & B simul,tripis ipiarum E tk.E simul. ( Quoniam enim in A sunt tres magnitu-dines, C, 1 >,G,squales ipsi E'; &in B sunt etiamtres, H, I, K, squales ipsi F; erunt C H simul ipsisT F simul, squales semel,per 2 .<±Axi.prt,&c D1 si-mul iii t s cm E F simul, squales erunt secundo ; &G K simul iisdeinE F simul, squales tertio, atque.

Propositio II. Theorema.

Si prima fecunda aeque fuerit multiplex,atque tertia quartae ; fuerit autem &quinta secunda aque multiplex , atque fixtaquarta ; erit& composta prima cum quinta,fecunda aque multiplex, atquetertia cum sextaquarta ,

U T si fuerit A B prima,dupla ipsius C secundx,

& similiter D E tertia fuerit dupla ipsius Fquartx; & prxtcreaB G quinta, fuerit triplacjus-dem Csccundx,&similiter E Hlcxta, suerit tripla 1 n ’ 'ejusdem F quartx: erit tam tota composita A B Gquintupla ipsius C, quam tota composita D E Hquintuplaipsius F. Nam si squalibus numero mul-titudinibus AB,DE, addantur squales numeroBGjBH; fiunt A B G simul squales numero ipsisD E H simul,per 2.e^A7.p>7.ideocp quoties C con-tinetur in A G, toties F continetur in D H, & con-sequenter quam multiplex est A G respectu C, tammultiplex est DH respectu F.

Propositio III. Theorema,

Sißt primasecunda aeque multiplex , at-que tertia quartae fumantur autem aequemultiplices prima, & tertia ; erit & ex aquo,sumptarum utras utrius^ aque multiplex,altara quidem secunda, alteraautem quarta ♦

U T si A prima, sit dupla sccttndx B, & similiterC tertia, sit dupla quartx D; sumatur vero Etripla prims A, & F tripla tertis C: erit ex squali-tate tam E tripla secundx B, quam F tripla quartx j lg ' V * .D. Nam quiaE&FsuntxqucmuItipliccs ipsarumA & C,nempe trip!x;erunt in E tres magnitudines,

G, H, I, squales ipsi A; & similiter in F erunt tres,

K, L, M, squales ipsi C. Cum igitur G & K sintaquales ipsis A&C; erunt G&Kxquemultipli-ces ipsarum B & D ,per O.tAlxi.pri. sint autem ean-dem ob caüsam H & L, item ] & M, aque multipli-ces carundcm B & D; sequitur, per i.pracedentemPropofit.Q,Y\,\, simul, & K,L,M, simul (hoc est, E& F) este aque multiplices carundcm B & D.

Propositio IV. Theorema.

Si prima ad fecundam habuerit eandemrationem, quam tertia ad quartam;etiam aque multiplices prima & tertia , adaque multiplices fecunda dr quarta , juxtaquamvis mtdtiplicationem , eandem habe-bunt rationem,feprout interfe refeon-dent , ita sumpta fue-rint ,

S it ut A ad B,ita CadD;&sint E & F squ e mul-tiplices antecedentium A, C; & Gac H sint ut-cunque sque multiplices consequentium B,D.

Dico,