96

Liber ///. Geometria Element aris.

Fig.VII.Icon.A;

Dico, esse ut E ad C, ita F ad H. Sumantur enimrursum ipsarum E,& F, quxeunque xque multipli-ces I, & K, & aliae quxcunq; x- -■ '■

quemultipliccL,M,ipsarumG, • ^ “

H Ergo, perpraced.hK ,erunt x-

G. L.K.F.C.D.H.M.

Fig.VI.Icon, A«

que multiplices ipsatu A,C;&L,M,xque multipli-ces ip/arum B,D,atquea deb,perDefin,0.hujus,l8cK erunt vel una xquales ipsis L& M, vel una exce-dent , vel una deficient. Sunt autem I & K xquemultiplices ipsarum E & F; & L ac M xque multi-plices ipsarumG&H; Ergo,per eandem'Defin.6.erit quoque ut E ad G, ita F ad H.

Corollarium.

Demonstratur ratio inversa,seuconversa.

C OUigtturkinc, st fimulex citata Defin.6.hujus,st quatuor quantitates fuerint proportionales ,easdem st inversa seu conversdratione esteproportio-na/es,juxta Definitionem /q.htijiu, Nam st ut stadB,ita fuerit C ad D ; (st ipsarum st, C,sumantur <tquemultiplices E, F, st altet Lj, H, eque multiplices qua-cunqstpfarum B,D',erunt ,per hic demonstrata, juxtaDesinit. ö.hujus, E,F,vel und aquales <pfis G,H, velundexcedent,velunddeficicnf,stcon - £. st, B. G.

stequenter vice versa G st H vel una F. C. D. H ,erunt aquales, vel und excedent,vel und deficient ab E,F: »«slif/f^wrjpercademdemonstrata, Ltjuxtaeandem Delinit.ö.hujus ,utBad st, ita este D ad C.

Propositio V. Theorema.

Si magnitudo magnitudinis etque fueritmultifilex 3 atq\ablata ablat eesetiam reli-qua, reliqua ita multiplex erit, uttota totius.

^ It tota A B,totius C D ita multiplex,ut est mul-

les eisdem E,F,aut certe earundem xque multipli-ces. Namin AB toties est E, quoties F in CD; &similiter in A G toties est E, quoties F in C H; ab-lato ergo numero partium A G,& C H, remanebitE in G B toties, quoties F in H D.

Propositio V11. Theorema.

JE quales magnitudines ad eandem ,eandem habent rationem: Et ea-dem ad aquales.

A &B sint xquales inter se. Dico.easad Cha- Fj

bcre eandem rationem :& vice versä C can- j c °' B ^ 'dem ad xquales A & B.Sumantur enim D,E,xquemultiplices ipsarum A,B; eruntqueD, E, inter sexquales,per O.estxio.pri. Sumaturprxtcrea F,ut-cunque multiplex ipsius C. Quoniam igitur D, E,xquales sunt, sit ut utraque vel minor sit quam F,vel xqualisjvcl major, juxta quamcunque multipli-cationem id fiXt.YLr^o,per Defin.6.hujus,ut A ad C,ita est B ad idem C. Et vice versa multiplex F veluna erit xqualis multjplicibus D,E,vel una major,vel minor, ideoque, per eandem Definita S.erit ut Cad A,ita idem C ad B. ^

Ex his constat, aquales magnitudines ad alias interse aquales, eandem habere rationem,fi loco multiplicisF fumantur dua aque multiplices.

Propositio VIII. Theorema,

Inaequalium magnitudinum major adeandem 3 majorem rationem habet, quamminor: Et eadem ad minorem, majoremrationem ha bet, quam admajorem »

S int dux magnitudines inxquales, A B major, &

C minor, tertia autem quxlibetD, Dico, A B

tiplex ablata A ii, ablatxCF. Dico,etiamreIi. habere majorem proportionem ad D,quam Cad Fig.I X,quam E B,ita esse multiplicem reliqux FD.utest D: Et e converso-D ad C babere majorem propor-lcou.A.tota AB totius C D. Sumatur enim GC, cujus tionetn.quam D ad A B. Intelligatur enim in A B,

E B sit tam multiplex,ut est A H ipsius CF, vel tota magnitudo A E xqualis minori C, ut sitreliquaEB:

Utriusqnedeinde,EB,A E, sumantur xque multi-plices G F,H G,bac lege, ut G F multiplex ipsiusE B, major quidem sit quam D,at HG multiplexipsius A E,non sit minor eadem D, fcdvelxqualis,vel major. Quoniam igitur duxFG,GHxquemultiplices suntduartim B E, E Aj erit ,per /.hujus,tota E H ita multiplex totius A B, ut H G ipsius

AB totius C D. Erit ergo ,per i.hujus,tota AB tammultiplex totius GF, quam est totius C D; ac pro-inde, per F, & G C,erunt xquales; &

ablata communi CF,xquales etiam erunt GC,F D, per j.ssixio.pri. idcoq; E B tam erit multiplexipsius F D,quam est multiplex ipsius F G; Sed E B

tam est multiplex ipsius G C, quam est A E ipsiusC F.vcltota A B totius C D, exhypothesi; ergo AE.boc est,ipsiusC.Capiaturquoq;ipsius Dmul-cadem E B tam est multiplex ipsius FD,quam A E ■ -

ipsius C F,vcl tota A B totius C D.

Propositio VI. Theorema.

Si dua magnitudines duarum magnitu-dinumfint aque multiplices , & detra-fta quadam sint earundem aque multiplices’,etiam reliqua eisdem aut aquales erunt,aut aque ipjarum multi-plices .

tiplex I K.qux proxime major sit quam H G,nem-pe ad minimum dupla. Ablcissa igitur LK xqualiipsi D, non erit IL major quam H G,sed vel xqua-lis,vel minor, alioquin 1K non esset multiplex ipsiusD proxime major quam HG. Et quia FG majorest quam D.L Kvero xqualis eidem D; erit quoqueFG major quam LK: Est autem HG non minorquam I L; ergo tota F H major est quaml K. Cumitaque F H,H G, sint xque multiplices primx A B,& tertix A E, seu C; & 1K sit multiplex ipsius D,qux est instar secundx, & quartx, seu duarum con-sequentium ; sitque F H multiplex primx, major

'..i»- ... i • ‘i- r > tl H-t,,,»!»:..«..

S int A B, C D.xque multiplices ipsarum E, F; & quam IK multiplex secundx; at G H multiplexdetractx AG, CH.sint earundem E, F xque tertix r*pn sitmajor, quaml K multiplex quartx,inultiplices,Dico,seliquasGB,HD,autcssexqua- imo mmor,exit,per 8,‘Defin,huius,mapt^xo^ortio

AB