i

s'L-X.

J'gXl.

Euclidis Elementum V.

97

AB primae ad D fecundam, quam C tertiae ad Dquartam.

E contrario vero D ad C majorem rationemhabct.quainad A B.quiaI Ki multiplex primae D,major est quam H G multiplex secundae C; at 1 K,multiplex tertiae D,major non est quam F H multi-plex quarta’ A B.scdmiuor; ac proinde, per eandemDefinit, S.hujiu, erit major proportio D ad C,quamadAB.

Sed ti 1 est a qualis, vel major, vel minor, quam Metiam H est aequalis, vel major vel minor, quam L,pereandem c Defimt 6 . hujus , quia ut E ad F,ita estC ad D; Ergo quando G maior est, vel minor, velaequalis ipsi K, etiam H maior erit, vel minor, velaequalis ipsi L;idcoque, per dtttam Defimt.O.crit Aprima ad B secundam, ut C tertia ad D quartam,

Propositio XI I.Theorema.

Propositio IX. Theorema,

jQu* ad eandem magnitudinem Jiabenttandem rationem , aquales sunt inter f;Et ad quas eadem eandem habet ratio-nem,e a quoq { sunt interseaquales.

H Abeant A & B eandem rationem ad C; dico,eas csscxqualcs.Si enim alterutra,v-g. A majorcfletquam B, haberet A ad C maiorem proportio-nem,quam B ad C,per procedentem. Habeat iterumC ad A & B eandem rationem; dico A & B este»quales. Sicnim Bmi nor esset quam A,haberet Cad ß majorem rationem, quam ad A , per eandemprocedentem.

Propositio X. Theorema.

%Ad eandem magnitudinem rationemhabentium , qua, majorem rationem ha-bet,illa major esi : Ad quam autem eademmajorem rationem habet, illaminor di.

H Abeat A ad C majorem rationem,quam B adeandem C;crit A majorquam B. Habeat de-inde C ad B majorem rationem, quam ad A ; eritB minor quam A. Si enim in pruno casu A essetaqualis B,non haberet proportionem majorem adC,fcd aqualem,si autem A in eodemcalu esset minor quam B, haberet minorem ratio-nem ad C,per 8 hujus. Infecundo verocasinsi A &JJ essent aquales. C ad eas haberet eandem ratio -nem ,per f/.hujus-. sivero B esset majorquam A,ha-beret C minorem rationem ad ipsam, quam ad A,per SJsujus.

Propositio XI. Theorema.

J$u£ eidemJunt eadem rationes , etiaminterf sunt eadem.

S it A ad B,utEadF; sit pratcrca C ad D, ut ea-dem E ad F. Dico, A ad B elfe, ut C ad D. Su-mantur enim ad omnes antece-dente» A, C, E, aeque multipli-ces quaecunque G, H, 1; & adomnes consequentes B, D, F,alisquscunqucsqucmultipli-ccsK,L,M. Quoniam igitur estA prima ad B secundam , ut Etertia ad F quartam ; fit, per Definit. 6. huius, utquando G est squalis, vel major, vel minor, quamK,etiam J fit squalis, vel major,vel minor quam AI:

G.

i.

H.

A.

E.

C.

B.

F.

D.

K.

M.

L.

Si fint magnitudines quotcunque pro-portionales } quemadmodum fe habuerituna antecedentium ad unam consequentium,ita f habebunt omnes antece-dentes ad omnes confi -quentes.

I fuerit ut A ad B, ita C ad D, & ita E ad F &c:erunt omnes antecedentes A, C, E simul, adomnes consequentes B, D, F simul,ut una antece-dens ad unamconscquentjcm.v.g.ut AadB. Su-mantur enim G, H,I,aeque multiplices antecedentium ,& K,L,

M utcunque aeque multiplicesconsequentium ; erunt, per t.hujus,G,H,l simul,ipsarum A,

C, E simul,ita multiplices,ut Gipsius A ; & prarterca K,L,Merunt iplarum B,D, F ita multiplices, ut Xipsius B.Deinde quoniam rationes A ad B, G ad D, E ad F»suntcsdem;ergo,^o" Definit.6.hujus,c\mndo G estaequalis, vel maior, vel minor quam K, erit etiam H& 1 squalis, vel maior, vel minor quam L & M; at rque adeo quando G maior est,vel minor,vel squa-lis ipsi X,erunt omnes G, H, I maiores,'vel minores,vel squales omnibus K, L, M: Sunt autem G, 8cG, H,I,squc multiplices ipsarum A,& A,C,E; &K,acK,L.M,sque multiplices ipsarum B,&B,D,F;ergo ,per ditiam Definit.6. ut A ad Ii, ita sunt omnesA,C,E,ad omnes B,D,F.

Propositio XIII. Theorema.

Si prima ad fecundam habuerit eandemrationem 3 quam terna ad quartam ; ter-tia vero ad quartam habuerit majorem ratio-nem, quam quinta ad sextam; prima quos? adfecundam habebit majorem rationem,quam quinta ad sextam.

S I A ad B eandem rationem habuerit, quam C adD; at C ad D habuerit maiorem, quam E ad F:etiam A ad B habebit maiorem,quam E ad F.Sum-ptis enim sque multiplicibus antcccdentiu & con-sequentium, ut in prxccdentipropositione,erit , per Definit.0.hujus,G semper maior quamK,quando H maior est quam Etatper Definit.S. hujus , quando Hmaior est quam E,non ncccssa •rio semper I est maior quam M,sed aliquando squalis, aliquando minor, eb quodmaior ponatur proportio D ad C,quäm E ad F; Er-go etiam I potest dic non maior quam M, quandoG est maior quamK,& ideo, per eandem Definit. S.maior erit ratio A ad B.quam L ad F.

I Propo-

G.-

H.

I.

A.

C.

E.

B.

D.

F.

K.

L.

M.

G.

H.

I.

A.

C

E.

B.

D.

F.

K.

L.

M.