98

Ltber 111. Geometria Elementare.

Propositio XIV. Theorema. Propositio XVII. Theorema.

Si prima ad fecundam habuerit eandemrationem , quam tertia ad quartam, pri-ma vero quam tertia major fuerit, erit &se-cunda major quam quarta, fijuod fi pr imasuent aqualis tertiarent&fecunda aqua-lis quarta: fi vero minor, &minor erit *

S it ut a ad b ,ita c ad d. Dico, a & b vel UNA csscaquales ipsis c & n, vel una excedere, vel unadeficere, Sit enim primo a majorquam c. Ratio ergo a ad B major

<±A.B.C.D.

erit, quam c ad eandem b, per X,hujus: Sed ut a ad b,ita este ad i>, ex hypothesi; Ergo major est ratio ead v, quam e ad B;idcoquc, per /o.bujits, major eritB,quam d,S imili modo probantur & reliqua.

Propositio XV. Theorema.

Tartes cum pariter multiplicibus m ea-dem sunt rationesproutsibi mu-tuo refondent , ita fu-mantur,

S int partes a & b,& earum aeque multiplices sintc & d. Dico, a & b esse in eadem ratione cumc &r>, hoc est, ita cssc c ad D, ut est a ad B. Sintenim exempli gratia in Ctres partes «quales ipsi A,nimirum E, F,G; eruntergo totidem in D «qualesipii B,nempeH,l,K; eritq;ut A ad B,ita EadH,& FadI,&G ad K,perCoroll.7. hujus ; U,per 12.hujus ,ut E ad H, hoc est,ut A adB, ita erunt omnes E, F, G simul, ad omnes H,l,Kiimul,hoccst,itacritCad D.

Propositio X VI.Theorema,

Si quatuor magnitudines proportionalesfuerint , is uiciffim proportiona-les erunt.

D Emonßratur hic Ratio Alterna. Situt AadB,ita C ad D: Dico, vicissim , scu permutandoeile quoque ut A ad C,ita Bad D: &hoc, quando

OlYin *-><- /iii'ifiiAt* lllllt PII mirm sTftl f* m

E, F, G

H.I.K.

I)

E. G-

A.

C.

B.

D.

F.

a.

ris.Sint enim E F,aeque multiplicesipsarum A,B;& G.Fs,utcunque at-que multiplices ipsarum C,D. Ergout A ad B, ita cnt. per antecedentem,EadF,cumE& F iintparitermulti-pliccspartium A &B } &utCadD,ita erit G ad H, propter eandem causam; & per//,hujus, ut E ad E,ita G ad H; & per /4. hujus, E & Ferunt vel tina aequales ipsis G,H, vel una excedent,vel una deficient, ideoqucpw Definit. 6 .hujrss, ut Atd C, ita erit B ad D.suntenitn E, F, seque multipli-■es antecedentium, & G,H, aeque multiplices con-equentium.

Si composta magnitudines proportiona-les fuerint, ha quoque diyifepro-portionales erunt .

j Emonßratur hic DivifioRamnis. Sit ut ABtcta.adB partem, ita CD tota, ad panem D.

Dico, dividendo esie ut A ad B,ita C ad D. Suman-tur enim E,F, aeque multiplices ipsarum A,B; St G, Fig.Xir,H,aeque multiplittes ipsarumC,D:entqucp«- i.htt- Icon.A.jus, aggregatum E,F tam multiplex totius AB,quam eu E ipsius A;& aggregatum GH tam multi-plex totiusCD,quamGipfius C: Sed E& G-suntaeque multiplices ipsarum A, C; ergo etiam E F,£fcG II,sunt «que multiplices ipsarum A,C; ergo et-iam E F,& G H, sunt «que multiplices ipsarum to-tarum A B„C D. Sint quoque ali« I,K,earundemB, D, «quemultiplices: ergo,per 2.hujus ,etiam FI,

&HK, erunt carundcm B,D, «que multiplices.

Cum igitur E F, G H, sint «que multiplices ante-cedentium AB,CD; &FI,HK,consequentiumB, D;crgo,perDefime0.hujus,E F,&GH, velunacrunt«qualcs, vclunadesicient, vel una excedentmultiplices FI, H K. Quando autem E F, & G H.sunt majores quam F J, H K ; tunc demptis com-munibus F,H, remanent E,G,majores quam I &

K;& quando fiant minores, vel «quales,remanentmajores,vcl«quales:suntqueE,G,«que multipli-ces ipsarum A, C;&1,K, ipsarum B,D: Ergo, pertandem Defin.öx rit ut A ad B, ita C ad D.

Propositio XVIII.Theorema.

Si di<~uija magnitudines fint proportio-nales,ha quoque composta propor-tionales erunt.

D Emonßratur hic Compofiuo Rationis Jit A B

BC, ita sit DE,ad EF.Dico,componendo eslbpj XIJIquoq; ut A C,ad B C,ita DFad E F.Si enim ita non icon. A. 'esi,fit ut A C,ad B C, ita D F,äd G F minorem ipsaE F. Ergo dividendo ut A #,ad 2 ? C, ita erit D G,adad F G.perpracedentcm : Sed ita ponebatur etiamD E, ad E F; ergo ut D E, ad E F, ita erit D G,adG F ,per//.hujus , Sed prima D E.ininorestquatnD G; ergo tunc.^w / 4 .hujut, etiam E F minor esi,quam G F; quod est absurdum. Quod si ut AC,adB C, sia esset DF,ad GF maiorem ipsa GFjsequcre- .tur E F cssc majorem ipsa G F , qu* ponebaturmaior;quod «que absurdum est.

Propositio XIX. Theorema.

Si quemadmodum totum ad tot um , itaablatum fi habuerit ad ablatum ; etiamreliquum ad reliquum fi habebit,ut totum ad totum.

U T tota A B, ad totam C D, ita sit ablata A, adablatam C. Dico,ita quoqueefl ereliq uam B %ad reliquam D, ut est tota AB, ad ''totam C D. Cum enim sit ut^F,ad

*A B. CD.

C D,ita A ad C; erit ,per / 6 . hujus , permutando ctiam ut AB ad A , ira C D ad C: & per 17,hujus,

diyiden-