N6. Die beiden Trigonometrien.

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so gezogen, daß je der eine Seitenabschnitt einen vollen Qua-dranten betrug und sodann der Satz von Menelaus angewandt").Die auf diese Weise erhaltenen Beziehungen wurden in Form vonProportionen oder sog. Analogien ausgesprochen und bei An-wendung auf das allgemeine Dreieck einzeln oder in Combinationmit andern Sätzen oft in ganz scharfsinniger Weise, aber immerso benutzt, daß Schritt für Schritt jede specielle Rechnung aus-geführt und, auch wo es leicht möglich gewesen wäre, keine Schluß-formel aufzustellen versucht wurde, — ein Verfahren, das großen-theils und jedenfalls in allen schwierigen Fällen bis in das17. Jahrhundert hinaus beibehalten, ja eigentlich erst von Euler

so das;

a: b — Ob. 2 : Ob. 2 8

oder da nachmals die halbe Sehne des doppelten Winkels Sinus des Winkelsgenannt wurde,

a: b — 8in ^: 8w 8.

Waren b, o und T bekannt, so konnten aus der Sehnentafel vorerst b und x,sodann nns b und 6—x nach dem Pythag. Lehrsätze auch a berechnet werden ?c.

") Sind r^.8' — ^,0' — 08" 90°, so folgen nach dem Transvcrsalcnsatzcfür Dreieck ^.80 und Transversale 80' bei unserer Schreibweise8in L.8'. 8in 88. 8in 00' — 8in 8'8. 8in 80. 8ür O'ep

d. h.

1 . Oos a. 0v8b — Oos o. 1 . 1oder

Oo8 c ---- Oos a. Oc>8 8 1.

und in ähnlicher Weise, indem man successive den Dreiecken 8 8 8', 088' undT Il'O' die Transversalen ^.0', ^8' und 8 0 gibt,

8in a — 8m g gjv ^ Z 8 ga — 8in b. 8 3 8 gb — 8 § e. 0v8 4

Diese 4 Formeln, von denen Delambre mindestens die zweite schon bei Hipparchvoraussetzen zu dürfen glaubte, entsprechenaber gerade den 4 von Ptolemäus benutz-ten aber allerdings noch (ohne 0o8 und 8 g)in Sehnen ausgedrückten Analogien. WieHantel in seiner mehrerwähuten Schriftrichtig hervorhebt, erhält man unter An-wendung von 2 und 3 auf das ebenfallsrechtwinklige Dreieck 888' auch noch die Fig. 7.

zwei Formeln

Ov8rie---Oos a. 8W8. 5 Oot^--Oo8c. 8g8. 6.

welche Ptolemäus fehlten und erst von den Arabern aufgestellt wurden.