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— Einige Vorkenntnisse aus der Arithmetik. —

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ebenda 1676; Landvogt in Kyburg und Zeugherr; vgl. Biogr. IV), TeutsclieAlgebra. Zürich 1659 in 4. (engl, durch Branker: London 1668)“ wird stattihm das Zeichen , und bis in die Gegenwart nach dem Vorgänge von Leibnitz vielfach • benutzt. — Ein Produkt aus 2, 3, 4, 5 etc. gleichen Faktoren nenntman Quadrat (census = ce), Cubus (cu), Biquadrat (censicensus = ee . ce), Censi-cubus (ce.eu), etc. — Die Multiplikation bestimmter Zahlen wird durch dassog. Einmaleins (abacus pythagoricus, livret) erleichtert, das schon Chuquet inseinem „Triparty“ von 1484 und noch besser Stevin in seiner „Arithmetique “von 1585 in tabellarischer Form aufführte und dessen Wichtigkeit TobiasBeutel (um 1670 Meeh. Dresden) in seiner „Arithmetica “ von 1693 mit demhübschen Keime „Gleichwie man einen Thurm mit Staffeln muss ersteigen, somuss das Einmaleins den Weg im Rechnen zeigen“ illustriert haben soll. Fürweiteres vgl. Note d. — b. Rahn benutzte als Divisionszeichen, sonstscheint meist der Bruchstrich angewandt und unser : erst durch Leibnitz eiu-gefiihrt worden zu sein. — Bezeichnen a, b, q, r der Reihe nach Dividend,Divisor, Quotient und Rest, so ist offenbar

a = b x q + r oder

a . r

F -q + ' b

während

a

b

= r

ein symbolischer Ausdruck für den Rest ist. — Für weiteres vgl. Note d. —c. Schon bei Rahn findet man eine bis 24 000 gehende (in der engl. A. bis100 000 fortgesetzte) Faktorentafel, und Hindenburg hatte 1781 (vgl. Mem. Berl.1781) sogar eine 5 Millionen betreffende Tafel im Druck, über deren Kon-struktion er in einem Anhänge . zu seiner „Infinitomii dignitatum exponentisindetermiuati historia. Gotting® 1779 in 4. “ berichtet hatte und für diesich z. B. Euler lebhaft interessierte. Der Druck scheint jedoch bald wiedersistiert worden zu sein; dagegen besitzt man durch Joh. Karl Burckhardt(Leipzig 1773 — Paris 1815; Akad. und Dir. Obs. de l’eeole milit. Paris )„Tables des diviseurs pour tous les nombres du 1—3 Million. Paris 1814bis 1817 in 4.“, — ferner durch Dase „Faktorentafeln für alle Zahlen der7—9 Million. Hamburg 1862—65 in 4.“, — und für die drei zwischenliegendenMillionen, für welche man bislang auf ein von Grelle der Berliner Akademieübergebenes Mss. beschränkt war, scheint J. 0. Glaisher aufkommen zu wollen,ja hat bereits eine „Factor Table for the fourth Million. London 1879 in 4.“publiziert. Ein Specimen einer solchen Tafel giebt unsere II. — d. EineSumme wird somit mit einer Summe multipliziert, indem man jedes Gliedder Einen mit jedem Gliede der Andern multipliziert oder alle sog. Teil-produkte bildet, — wobei, wenn man diese letztem und die Faktoren nachderselben Regel (z. B. lexikographisch) ordnet, das erste Glied des Produktesgleich dem Produkte der ersten Glieder der Faktoren wird. — Beim numeri-schen Rechnen wurden früher alle Teilprodukte einzeln, nach einem vonRechner zu Rechner wechselnden Schema aufgeschrieben und dann zu einerSumme vereinigt, bis Ad. Riese unsere gegenwärtige Übung einführte. —Unter Anwendung der in 19 eingeführten Bezeichnungen erhält man z. B.

(a -f b) a = a* j- 2ab 4- b 2 und somit, wenn b gegen a klein ist, Üa 2 + b :=; a -f- ~ ,

worin ein Mittel liegt, eine sog. Quadratwurzel durch Näherung zu finden.— Es folgt ferner, dass bei gleich geordneten Dividend und Divisor derQuotient ihrer ersten Glieder das erste Glied des Quotienten ergiebt: Manzieht sodann sein Produkt in den ganzen Divisor von dem Dividend ah, —sucht aus dem Reste in gleicher Weise das zweite Glied des Quotienten, — etc.,